EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II

EXERCÍCIOS  DE  CÁLCULO  II

                   I-Função de duas variáveis e derivadas parciais

1. Seja  [pic 1]. Calcule  a) [pic 2],  b) [pic 3] e  c) [pic 4]

1. Determine e esboce o gráfico do domínio das seguintes funções:

a) [pic 5]       b) [pic 6]        c) [pic 7]

d) [pic 8]                         e) [pic 9]

      3) Uma agência de viagens tem um orçamento mensal de R$ 20000,00 para gastar  x  reais em

       propaganda de jornais e  y  reais em TV. Nestas condições, estima-se que sua receita mensal

       será de  [pic 10]  reais. Calcule a receita mensal se a agência gastar

      a) R$ 5000,00 por mês em propaganda de jornal e R$ 15000,00 em TV

      b) R$ 4000,00 por mês em propaganda de jornal e R$ 16000,00 em TV.

4) Calcular as derivadas parciais  [pic 11] e  [pic 12] e as taxas de variação na direção x e na direção y da função [pic 13]  no ponto  [pic 14]. Interprete o resultado.

5) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:

 a) [pic 15][pic 16]                 b) [pic 17]                 c)[pic 18]

 d)  [pic 19]       e) [pic 20]       f) [pic 21]

g) [pic 22]     h) [pic 23]     i) [pic 24]

j) [pic 25]         k) [pic 26]         l) [pic 27]

m) [pic 28]           n)  [pic 29]              o) [pic 30]

6) Calcule as derivadas parciais primeiras de [pic 31]  em  [pic 32] e interprete o resultado.

7) A função  [pic 33], onde  [pic 34]  e  [pic 35] são constantes  e  [pic 36]  chama-se função produção de [pic 37], onde  x  é o  gasto em mão-de-obra, y  é o custo de equipamento de produção (prédios, máquinas, etc.)  e  [pic 38] é o número de unidades produzidas. Nesta função, [pic 39]chama-se produtividade marginal de mão-de-obra (a taxa de variação que indica unidades produzidas para cada unidade gasta em mão-de-obra, considerando-se o gasto em equipamento constante) e [pic 40]chama-se produtividade marginal de capital ( é a taxa de variação que indica unidades produzidas para cada unidade gasta com custo de equipamento, mantendo-se constante o custo de mão-de-obra).

    Seja  [pic 41]  a função produção de uma grande indústria

1. Qual a produtividade marginal de mão-de-obra e de capital sabendo que os gastos atualmente são de 125 unidades monetárias em mão-de-obra e 27 unidades monetárias em capital ?
2. A direção deve investir em mão-de-obra ou capital para aumentar a produção ?

8) A temperatura em graus Celsius de uma placa de aço em um ponto  [pic 42] é dada por [pic 43], onde  [pic 44] e  [pic 45] estão em metros. Encontre as taxas de variação da temperatura ao longo das direções dos eixos  x  e  y , no ponto  [pic 46].

9) A produção de um certo país é dada por  [pic 47] quando  x  unidades de mão-de-obra e  y  unidades de capital são utilizadas.

a) Qual é a produtividade marginal de mão-de-obra e de capital quando as quantidades gastas em mão-de-obra e capital são de 125 e 8 unidades monetárias, respectivamente?

b) O governo deveria encorajar investimentos em capital ou em mão-de-obra para aumentar a produtividade do país ?

10) Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:

a)  [pic 48]                       b) [pic 49]

c)  [pic 50]                    d) [pic 51]

                        11) A região retangular  R  da figura ao lado representa a área

                        financeira de uma cidade e nela o preço  p de um terreno no                           y(km)[pic 52]

ponto  (x,y)  é estimado pela função

[pic 53][pic 54]

        R

                 [pic 55]                                                                   x(km)[pic 56]

por  [pic 57]. Calcule  [pic 58] e  [pic 59] e interprete os resultados

II – Derivada direcional , gradiente e plano tangente

12) Dada a função  [pic 60], o ponto [pic 61] e o vetor  [pic 62], determine:

a) o gradiente de  [pic 63] ;  b) o gradiente de  [pic 64] no ponto  [pic 65] e  c) a taxa de variação de  [pic 66] em  [pic 67] e na direção do vetor  [pic 68].  Qual o outro nome para esta taxa ?