Métodos Numéricos Calculo de Dissecção

MÉTODO DA BISSECÇÃO

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0 (Teorema de Bolzano).

O Método da Bissecção consiste em, a partir de um intervalo [a, b] que contenha a raiz 𝑥̅, determinar uma sequência de intervalos [a_(i ), b_(i )], i = 0, 1, ..., em que a_(0 ) = a e b_(0 )= b, de modo que a amplitude do intervalo numa iteração é a metade da amplitude do intervalo anterior e que ele sempre contem a raiz 𝑥̅.

A sequência de intervalos será calculada até que a amplitude do intervalo seja menor que a precisão ε requerida, isto é, (b_(k ) − a_(k )) < ε. Graficamente tem-se:

As sequências a_(i ), b_(i ) e x_(i ) são construídas da seguinte maneira:

1. Determinar um intervalo inicial [a0, b0] tal que f(a_0)f(b_0) < 0;

2. Calcular x_k = (a_(k )+ b_k)/2 (ponto médio do intervalo);

3. Se |x_k - x_(k-1) |/|x_k |   ou |f(x_k)| <  PARE, x_k é uma raiz de f(x);

4. Se f(a_(k ))f(x_k) < 0, então a_(k+1) = a_(k ) e b_(k+1) = x_k;

5. Se f(a_(k ))f(x_k) > 0, então a_(k+1) = x_k e b_(k+1) = b_k;

Terminado o processo, tem-se um intervalo [a, b] que contém a raiz e uma aproximação 𝑥̅para a raiz exata é obtida.

CONVERGÊNCIA:

O Método da Bissecção converge sempre que a função f(x) for contínua no intervalo [a, b] e f(a)f(b) < 0. Entretanto, a convergência do Método da Bissecção é muito lenta, pois se o intervalo inicial é tal que (b_0 – a_0) >> ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande.

Estimativa do Número de Iterações:

Dada uma precisão  e um intervalo inicial [a, b], é possível saber quantas iterações serão efetuadas pelo método até que obtenha b a   , com b > a.

Estimativa para o número de iterações:

𝑘 >(log⁡(b_0-a_0 )-log⁡( ))/(log⁡(2))

Deve-se então obter k tal que b_k  a_(k )  ,   0

EXEMPLO:

Considere a equação f(x) = x³-3x-1, com intervalo [-1,0] e  = 0.15, calcular a raíz:

Definindo o intervalo [a_(0 ), b_(0 )] como [-1 e 0]

f (-1) = 1

f (0) = -1

1*-1 = -1, então,

f (-1) * f (0) < 0, já que não há restrições podemos prosseguir para o método

Partindo do intervalo

[-1,0]

x_(1 )= (a+b)/2 = ((-1)+(0))/2 = -0.5

Para sabermos qual intervalo [-1, -0.5] ou [-0.5, 0] contém a raiz aplicamos:

f

...