O COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM
Por: Pedro Thiago Vilela • 6/9/2018 • Monografia • 9.625 Palavras (39 Páginas) • 289 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO – UFERSA[pic 1]
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS E HUMANAS – DCETH
CAMPUS ANGICOS
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
PEDRO THIAGO VILELA DE MENDONÇA
COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM.
ANGICOS – RN
2016
PEDRO THIAGO VILELA DE MENDONÇA
COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM.
Monografia apresentada a Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA, Campus Angicos para a obtenção do título de Bacharelado em Ciência e Tecnologia.
Orientador: Prof. Ms. Matheus da Silva Menezes - UFERSA
LISTA DE TABELAS
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Gráfico das funções L(x) e f(x), onde L(x) é a reta tangente a f(x) no ponto . 17[pic 2]
Figura 2:Gráfico mostrando a inclinação nos pontos e . 18[pic 3][pic 4]
Figura 3: Gráfico mostrando a nova inclinação em gerando uma nova reta (22) 18[pic 5][pic 6]
Figura 4: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A1 36
Figura 5: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A2 38
Figura 6: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A3 40
Figura 7: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A4 42
Figura 8: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A5 44
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO 7
1.1. OBJETIVOS 8
1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 8
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 9
2.1. CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 9
2.1.1. Classificação de uma ED 9
2.1.2. Solução de uma ED 11
2.2. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS DOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE PASSO ÚNICO PARA SOLUÇÃO DE PVI DE 1ª ORDEM 12
2.3. POLINÔMIO DE TAYLOR 13
2.3.2. Erro de truncamento local 14
2.3.3. Polinômio de Taylor para funções de duas variáveis 15
2.4. MÉTODOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA 16
2.4.1. Método de Euler 16
2.4.2. Método de Heun 18
2.4.3. Métodos de Runge-Kutta 20
3. MATERIAIS E MÉTODOS 25
3.1. METODOLOGIA 25
3.2. ALGORÍTIMOS 27
3.3. PROBLEMAS 31
3.3.1. Problema A1 31
3.3.2. Problema A2 32
3.3.3. Problema A3 32
3.3.4. Problema A4 33
3.3.5. Problema A5 34
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 35
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 45
REFERÊNCIAS 46
1. INTRODUÇÃO
Muitos problemas fundamentais da mecânica, biologia, física, química, economia, e nas diversas áreas da engenharia são dados em termos de variações espaciais e/ou temporais, e definem mecanismos de variação (CHAPRA, 2013, p. 547). A abordagem de tais problemas é feita através de equações diferenciais, que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.
“Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos fenômenos naturais” (CAPRA, 2006, p. 104).
Para trabalhar com tais mecanismos de variação dentro de uma função, há vários métodos analíticos para encontrar a solução de equações diferenciais. Contudo, segundo Barroso (1987, p. 275), nem sempre é possível obter uma solução analítica
Neste caso, os métodos numéricos são uma alternativa válida para se encontrar uma solução aproximada. Segundo Chapra (2013. p. 1), os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas para resolver problemas de modelagem matemática, devido a sua capacidade em lidar com um grande número de equações, não linearidades e geometrias complexas. Portanto é uma boa alternativa para se trabalhar com solução numérica de equações diferenciais.
Outro desafio, presente nos métodos numéricos, é obter uma solução numérica que se encaixe dentro de limites razoáveis, com o mínimo de erro possível. Portanto é muito importante ter conhecimento dos fatores que geram erros dentro da solução numérica, para procurar obter uma solução cada vez mais precisa.
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