O Cálculo Numérico

Descrição do problema:

Nas ciências físicas quase todos os problemas podem ser reduzidos a uma equação diferencial. Além das equações diferenciais ordinárias sujeitas a condições iniciais temos equações diferenciais ordinárias e parciais sujeitas a condições de contorno. Para tais problemas abordamos o Método de Diferenças Finitas.

Discretização do Domínio:

No Método de Diferenças Finitas (MDF) o domínio do problema, contínuo, é substituído por uma série de pontos discretos, ou nós, nos quais são calculadas as incógnitas do problema. Essa substituição do contínuo pelo discreto denomina-se discretização.

Discretização da Equação:

Uma vez efetuada a discretização do domínio do problema, discretiza-se a equação diferencial aplicando-se o MDF para a determinação das incógnitas. As derivadas, que aparecem na equação original, são substituídas (ou aproximadas) por fórmulas discretas de diferenças. A aplicação dessas fórmulas aos pontos do domínio discretizado gera um sistema de equações algébricas, cuja solução fornece os valores das incógnitas do problema nesses pontos discretos.

Diferenças finitas: A seguir estão apresentados, de maneira resumida, os passos para a resolução desse problema:

• Divide-se um intervalo de  em subintervalos de [pic 1][pic 2]
• Determinam-se sendo , para ;[pic 3][pic 4][pic 5]
• Calcula-se  para [pic 6][pic 7]
• Escreve o sistema linear de  equações e  incógnitas usando a equação abaixo:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

Onde  é o valor aproximado para a solução . Lembre-se que  e . [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Obs.: As aproximações em diferenças finitas podem ser escritas de forma simplificada. A equação acima está escrita na forma de diferença central.

Resolução do problema:

Encontrar uma solução aproximada para:

[pic 15]

[pic 16]

Usando [pic 17]

Primeiramente iremos encontrar a resolução de forma analítica da edo acima.

Aplicando a integral em cada lado da equação duas vezes chegamos ao seguinte resultado:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Podemos verificar facilmente que e , assim a solução da edo acima é dada por:[pic 21][pic 22]

[pic 23]

Obs.: Essa resolução vai servir para compararmos com o resultado obtido pelo Método das Diferenças Finitas, com o auxílio do algoritmo feito com o DEV-C++ para fazer a Fatoração de Cholesky que resolve o sistema linear onde  é uma matriz definida positiva, é uma matriz coluna (valores a serem encontrados) e é matriz coluna.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

De acordo com a aproximação do Método das Diferenças Finitas, podemos preencher as seguintes matrizes:

 , onde [pic 28][pic 29]

Resolvendo o sistema de equações por meio da implementação do algoritmo (Fatoração de Cholesky) encontramos os seguintes valores de  associado a cada .[pic 30][pic 31]

[pic 32]	– valores de  calculados por meio da solução analítica[pic 33][pic 34]	– valores de  calculados por meio do algoritmo[pic 35][pic 36]
0,0	0,000	0,000
0,1	0,200	0,199
0,2	0,390	0,392
0,3	0,570	0,573
0,4	0,740	0,736
0,5	0,880	0,875
0,6	0,980	0,984
0,7	1,060	1,057
0,8	1,090	1,088
0,9	1,070	1,071
1,0	1,000	1,000

Tabela 1

A partir desses dados e da solução obtida analiticamente, podemos construir os gráficos a seguir, feito com o programa GeoGebra: