Problema - Processos Estocasticos

PROBLEMA 01

(A) Escreva e executar um programa MATLAB para calcular n! para um n arbitrário. Use seu programa de calcular 64!

(B) Qual é o maior inteiro n para o qual o programa dá uma resposta finita?

(C) A aproximação da Sterling para a função fatorial é dado por n!

n!≈√2π (n^(n+1/2) ) e^(-n) (1-1/12n)

Use seu programa para comparar o verdadeiro valor de n!

SOLUÇÃO:

(A):

fat(64)

ans= 1.2689e+89

(B):

>> fat(1000)

ans = inf

>> fat(500)

ans = inf

>> fat(250)

ans = inf

>> fat(125)

ans = 1.8826777176888926e+201

>> fat(150)

ans =7.7425363654638288e+262

>> fat(160)

ans =4.7144445567928374e+284

>> fat(170)

ans =7.2574888399892733e+306

>> fat(180)

ans =inf

>> fat(175)

ans =inf

>> fat(171)

ans =inf

obs: por tentativa e erro foi o método utilizado para determinar que o número 170 tem resposta finita

CÓDIGO: (Utilizado na resolução das letras A e B)

function y = fatora(n)

for i = 1:numero(n)

if n(i)==0

y(i)=1;

elseif n(i)<0

error ('fora da realidade');

y(i)=NaN;

else

y(i)=prod(n(i):-1:1);

end

end

end

PROBLEMA 03

Seja X uma variável aleatória que e distribuída uniformemente sobre o intervalo (0, 100). Formar uma nova variável aleatória Y, arredondando X para o numero inteiro mais próximo. No código MATLAB, isto pode ser representado por Y = round (X). Finalmente, formar o erro de arredondamento aleatório de acordo com Z = X - Y.

(a) Usando métodos anal tico, encontre a PDF de Z, assim como E[Z2].

(b) Usando MATLAB, criar um histograma para as densidades de probabilidade para a variável aleatória Z. Compare com a PDF encontrada analiticamente em (a).

SOLUÇÃO: Temos a seguinte expressão:

F(x)={█(0 parax<0@1/(100-0) para 0≤x≤100@0 para x>100)}

Realizando um rápido estudo analítico, podemos observar que Y é um arredondamento de X, ‘SEMPRE’ serão muito próximos, portanto Z=X.

O código implementado no programa foi o seguinte:

x=ones(100,1);

X=x/100;

Y=round(X);

Z=X-Y;

Plot(Z);

Axis([0 100 0 0.02]);

Temos que X é função densidade aleatória uniforme, portanto a esperança de Z^2 pode ser obtida através da função:

∫_0^1▒〖00 x^2⁄100 dx=〖100〗^█(3@)⁄300〗=3333.33

Chegamos a conclusão