RESUMO DE CALCULO NUMERICO
Por: Yuri Flausino • 29/8/2021 • Artigo • 18.985 Palavras (76 Páginas) • 107 Visualizações
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Ministério da Educação[pic 2][pic 3]
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Câmpus Medianeira
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– NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
- – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
– INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
- – SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
- – RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
- – AJUSTE
- – ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
- INTRODUÇÃO
O que é o Cálculo Numérico?
Conjunto de métodos utilizados para obtenção do resultado de problemas matemáticos através de aproximações.
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Ex: Calcular a integral: ∫ x2dx
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Que outra forma teríamos de resolver esse problema? Cálculo Numérico trabalha com aproximações.
FASES DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
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Um modelo matemático pode ser definido como uma formulação ou uma equação que expresse as características essenciais de um sistema físico ou processo, em termos matemáticos.[pic 12]
Os métodos numéricos são técnicas mediante as quais é possível formular problemas matemáticos de tal forma que possam ser resolvidos usando operações aritméticas (Algoritmo com um número finito de operações).
Como necessitamos realizar um número grande de cálculos aritméticos, devemos usar o computador para obter uma solução em um tempo razoável.
A análise dos resultados tem como objetivo verificar se os resultados observados correspondem aos esperados, com base em critérios e padrões estipulados.
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as fases tenham sido realizadas corretamente.
Decorrentes das simplificações na obtenção do modelo, ou na precisão dos dados;
A forma como os dados são representados no computador (aproximações), as operações numéricas efetuadas.
TIPOS DE ERROS
Erros Inerentes: São erros que o usuário não tem condições de evitá-los. Eles surgem de modelos matemáticos, medidas, etc.
Ex.: Calcular o comprimento de uma circunferência.
Erros de Truncamentos: São erros que surgem quando substituímos um processo matemático infinito por uma parte finita dele.
Na implementação de algoritmos numéricos em um computador, podemos realizar apenas um número finito de operações aritméticas.
Ex.: Trocamos uma série infinita por uma finita.
Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j (j=1,…,∞).
Ex.: Aproximar π truncando na quarta casa decimal, sendo que π=3,1415926535...
x x ∞ xk 2
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Ex.: Sabendo-se que
e pode ser escrito como e
= ∑
k =0
faça a aproximação de
e através de um
truncamento após quatro termos da somatória.[pic 14]
Erros de Arredondamentos: São cometidos pelos computadores ao realizarem operações aritméticas. Isto se deve ao fato de que um computador possui uma palavra (local onde armazena dados) de tamanho finito e consequentemente só consegue representar um subconjunto finito de números racionais.
Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas di+j (j =1,2,...) de tal forma que: di seja a última casa se di+1 <5;
di+1 seja a última casa se di+1 >=5
Ex.: Arredondar π na quarta casa decimal, sendo que π=3,1415926535...
1.4. MEDIDAS PARA REPRESENTAR ERROS
Precisamos de medidas para representar erros.
As mais comuns são: Erro absoluto, Erro relativo e Erro Percentual
Erro absoluto: Diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado (em módulo).
Eax =| x − x|[pic 15]
Erro relativo: Razão entre o erro absoluto e o valor exato do número considerado (em módulo).
Erx
= |x − x| , x ≠ 0
|x|[pic 16][pic 17]
Erro Percentual: Erro relativo vezes 100%
Epx = ERx ⋅100%
Ex.: Calcular os erros absolutos e relativos que se cometem ao se tomar como valores de π: a) 22/7
b) 333/116
c) 355/113
d) +[pic 18][pic 19]
INTERPOLAÇÃO
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades;
A função g(x) é usada em substituição à função f(x).
Conceito de Interpolação: Sejam (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de
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