Relatório numérico Transferência de Calor

Simulação numérica de perda de calor em uma parede composta

                Gustavo Henrique de Souza Pereira – 13/0027600

                Yann Uatanabi Gaspar de Almeida – 14/0166190

Resumo

Neste trabalho, foi feita uma análise de um problema de transferência de calor em uma parede composta. Primeiramente, discretizou-se o domínio, a partir da construção de uma malha de elementos finitos, e as equações algébricas necessárias para a resolução. Em seguida, utilizou-se um solver matricial do Matlab para obter o resultado numérico.

1. Introdução

Métodos de cálculo numérico têm sido cada vez mais utilizados na análise de problemas de transferência de calor, pelo fato dessas soluções se aproximarem com boa precisão dos resultados reais e as soluções analíticas – muitas vezes envolvendo equações diferenciais parciais, não lineares - não permitirem uma resolução rigorosa, tendo em vista o grau de dificuldade elevada que possuem. A abordagem de problemas relacionados à transferência de calor utilizando o método dos volumes de controle baseado em elementos finitos é uma boa opção para analisar a transferência de calor em estruturas com precisão elevada.

O presente trabalho tem como objetivo analisar pelo método de volumes de controle baseado em elementos finitos, a transferência de calor em uma parede bidimensional composta, que está exposta à transferência de calor por meio de condução e convecção.

         

1. Base teórica e problema analisado

Condução ou difusão é o processo de transferência de energia através de um meio material, sem transporte de matéria. A energia térmica se propaga de partícula para partícula do meio. Ocorre principalmente nos materiais sólidos.

            O modelo que relaciona a temperatura com o movimento das partículas pode ser usado para explicar a condução de calor através de um corpo. A medida que recebem calor, os átomos ou moléculas do corpo vibram mais intensamente e a energia cinética dessas partículas é transferida sucessivamente de uma partícula para outra, essa transferência de energia cinética é a propagação de calor (INCROPERA). A equação que representa a condução de calor em coordenadas cartesianas está representada a seguir:

[pic 3]

Onde:

𝑘 =constante de condução de calor;

𝑇= Temperatura;

ė = geração de calor internal;

𝜌= massa específica;

 c= calor específico;

Como o problema é em Regime Permanente, sem geração de calor e com constante de condução de calor constante, a equação se reduz a:

[pic 4]

   

Com relação à condução de calor na parede, o fenômeno acontece na parte interna do material utilizado na construção, pelo fato de a condução ser uma interação molecular.

A convecção térmica está relacionada à transmissão de calor que ocorre através do transporte de matéria. A equação que descreve esse fenômeno é a Lei do Resfriamento de Newton, como mostrado a seguir:[pic 5][pic 6]

Onde  é o taxa de calor, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a área e  é a variação de temperatura. [pic 7][pic 8]

A parede está sujeita à convecção na sua área lateral externa, à uma temperatura ambiente de -10ºC, e na sua área lateral interna, à uma temperatura ambiente de 20 ºC. Entre o ambiente e as superfícies internas e externas, existe apenas o efeito de convecção. Dentro da parede será considerado apenas o efeito da condução. A imagem abaixo ilustra a parede assim como a suas dimensões.

[pic 9]
         Figura 1 - Esquema de seção da parede estudada

              

O método em questão, consiste em subdividir o domínio de cálculo em um número de volumes de controle, em que a descrição das equações associadas é obtida facilmente e podem ser interpretada em termos físicos(HOLMAN, Jack P.). As equações associadas representam um balanço através do volume de controle, onde se contabiliza o que um volume influencia no outro, bem como as influências das transferências  de  calor  por  convecção e condução.  

1. Metodologia

Para uma primeira tentativa de esboço do problema, fez-se a malha referente à parede composta, à mão, formada por 24 triângulos. A malha é representada na figura 2.

[pic 10]
Figura 2 - Malha equivalente à parede composta.

As matrizes P E T utilizadas para desenhar a malha no Matlab foram as seguintes:

[pic 11][pic 12][pic 13]

A malha gerada pela MatLab, usando a função pdemesh com os valores das matrizes acima, pode ser vista na figura abaixo. Isso comprova as matrizes foram bem organizadas para resolver o problema proposto.

[pic 14]

Figura 3 - Malha grossa gerada em MatLab

Em seguida, dividiu-se os volumes de controle da malha. Para isso, primeiramente determinou-se as coordenadas dos baricentros de cada triângulo e depois, pelo método das medianas, ligou-se o baricentro à mediana de cada lado dos triângulos. Em um triângulo genérico de nós 1(X1,Y1), 2(X2,Y2) e 3(X3,Y3), o baricentro desse triângulo, de coordenadas X0 e Y0, podem ser determinadas pela fórmula abaixo:

[pic 15]

[pic 16]

Os pontos médios a, b e c do triângulo genérico podem ser calculados como a metade do segmento de reta que une dois nós.

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Figura 4 - Triângulo Genérico ABC.

O resultado da malha dividida em volumes de controle é mostrado na Figura 3.

                                     [pic 21]
                                Figura 5 - Malha dividida em volume de controle.

Com essas informações e possível calcular os coeficientes Cij de cada elemento do triângulo. Para cada elemento, tem-se dois vetores normais associados ao elemento, mostrado na figura abaixo, que também podem ser calculadas usando as  seguintes fórmulas: