SEMINÁRIO: ANÁLISE DA DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA DISTRIBUIÇÃO MÁXIMA DE VALORES EXTREMOS DO TIPO I (GUMBEL) APLICADOS AO ESTUDO DE PRECIPITAÇÕES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA – MESTRADO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

SEMINÁRIO: ANÁLISE Da definição dos PARÂMETROS UTILIZADOS NA DISTRIBUIÇÃO MÁXIMA DE VALORES EXTREMOS DO TIPO I (GUMBEL) APLICADOS AO ESTUDO DE PRECIPITAÇÕES

Professora: Sofia Maria Carrato Diniz

Aluna: Cristiane Botelho Murad. 

Resumo

O presente trabalho tem como fator primordial para elaboração do mesmo, um estudo da definição dos parâmetros utilizados no método de Gumbel, conhecido como método de valores extremos tipo I, com o intuito de validar sua utilização ligada ao estudo de precipitações máximas, onde seu uso é mais aplicado. Em locais onde é desconhecida a equação de chuvas da região, pode-se tomar os valores de precipitações diárias históricas para iniciar estudos mais aprofundados. Toma-se como exemplo para estudo de caso, o método de Gumbel e seus parâmetros estimados conforme dados de precipitações máximas anuais do Posto Pluviométrico de Bonsucesso em Guarulhos, São Paulo. A avaliação do método de distribuição escolhido pode ser verificada pelos testes de aderência Kolmogorov‐Smirnov ou Qui‐Quadrado. Com isso, os resultados obtidos para o método Gumbel mostram a importância da qualidade das amostras, para se obter estimativas para diversos períodos de retorno e analisar possíveis considerações sobre a distribuição de probabilidades.

Palavras-chave: Método de Gumbel, Precipitações, Distribuição de probabilidades.

1. Introdução

A distribuição de Gumbel foi introduzida em 1941 e é chamada de Distribuição de Gumbel ou distribuição de valores extremos do tipo I, muito utilizada no Brasil e no Canadá. O objetivo é achar a máxima enchente de um rio, a máxima precipitação, o máximo vento, o máximo pico de vazão, etc. (TOMAZ, 2016).

Gumbel, em 1945, sugeriu que essa distribuição de valores extremos seria apropriada para a análise de frequência das cheias, desde que a série fosse anual, isto é, cada vazão da série de valores extremos fosse a maior vazão de uma amostra de 365 possibilidades (maior vazão do ano) (WATANABE, 2013).

Em muitas aplicações usadas em engenharia, é importante saber as distribuições dos valores máximos e mínimos das variáveis aleatórias. O tipo I desta distribuição é maioritariamente usado para definir a distribuição de valores máximos relativos a fenómenos naturais como vento e cheias (MATOS, 2010).

A teoria dos valores extremos desempenha um papel fundamental na modelagem de eventos associados a probabilidades muito pequenas ou eventos raros, que são de grande utilidade no planejamento de estruturas civis (BAUTISTA, 2002).

Tem se usado a distribuição de Gumbel em regiões onde não existe uma equação de chuva intensa, mas existem muitos dados de precipitação diária através de pluviômetros. Com os dados das precipitações diárias usa-se a distribuição de Gumbel para vários períodos de retorno, logo após, com as relações entre as precipitações, transformam-se as chuvas de um dia para 24h. Depois a relação de precipitações para chuvas de 24h para chuvas de 1h e assim por diante (TOMAZ, 2016).

O conhecimento destas chuvas também é importante para o dimensionamento de obras hidráulicas, tanto urbanas, como rurais, de modo que a estrutura planejada destas construções possa resistir adequadamente a estas precipitações. Obras estas como drenagem em estradas, barragens para atenuação de cheias, construção de galerias pluviais, e não menos importante, o manejo da agricultura (MELLO et. al, 2001).

1. Desenvolvimento

A distribuição de Gumbel, conhecida também como função de valores extremos do tipo I, possui apenas dois parâmetros, de posição e de escala. As Equações a seguir denotam respectivamente, a Função Acumulada de Probabilidade e a função de quantis da distribuição de Gumbel.

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Onde:

Fy(y) = probabilidade acumulada de ocorrência de um evento y;

x(TR) = quantil para determinado tempo de retorno TR;

α, β = parâmetros de escala e posição respectivamente;

TR = tempo de retorno.

A distribuição de Gumbel é definida pelos parâmetros [pic 3] e [pic 4], os quais se relacionam com os dois primeiros momentos da população pelas equações [pic 5] e [pic 6].

Igualando a variância da amostra, [pic 7], à da população, [pic 8], e resolvendo a segunda das anteriores equações em ordem a [pic 9] obtém-se o estimador [pic 10]. Igualando a média da amostra, [pic 11], à da população, [pic 12], introduzindo o estimador [pic 13] na primeira das anteriores equações e resolvendo-a em ordem a [pic 14] obtém-se o estimador [pic 15].

[pic 16] e [pic 17] constituem os estimadores pelo método dos momentos dos parâmetros da lei de Gumbel.

Apresenta-se a Distribuição de Gumbel através de um exemplo da cidade de Guarulhos usando informações do Posto Bonsucesso com dados de 58 anos conforme Tabela 1 para Tempo de retorno (T) = 25 anos.

Postos pluviométricos em Guarulhos

Constam no banco de dados pluviográficos do Estado de São Paulo, feito pelo Departamento de Águas e Energia Elétrica (DAEE), quatro postos pluviométricos localizados dentro do município de Guarulhos.

Posto pluviométrico escolhido:

E3-002 Posto Bonsucesso

Bacia do rio Baquirivu Guaçu

Altitude 700 metros

Latitude 23 º 25’ Longitude 46 º 24’

Dados de 1940 até 1997.

Em funcionamento

Tabela 1- Precipitações máximas diárias anuais do Posto Bonsucesso em Guarulhos

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