Trabalho de Numérica
Por: Paulo Kwango Ciêntista • 12/12/2018 • Pesquisas Acadêmicas • 1.082 Palavras (5 Páginas) • 103 Visualizações
- Paulo Domingos Kwango
Temas a abordar
- Método dos mínimos quadrados
- Derivação Numerica
- Aproximação da derivada por diferenças finitas
- Diferenças finitas via série de Taylor
- Erros de arredondamento
- Integração Numerica
- Bibliografia
1. Método dos mínimos quadrados
Sistemas lineares aparecem como modelos matemáticos de vários fenômenos e em várias situações. Acontece que alguns sistemas simplesmente não possuem soluções e ficamos sem saber como proceder. O método dos mínimos quadrados é uma técnica que nos permite, de forma aproximada, retirar alguma informação desses sistemas impossíveis. A terminologia se deve ao fato de que, como veremos, este método minimiza a soma dos quadrados dos erros obtidos na aproximação.
Como sabemos, resolver o sistema linear :
Ax→ = b→
consiste em encontrar um vetor x→ que satisfaça a esta equação. Na terminologia que construimos ao longo do curso, é equivalente dizer que b→ pertence ao espaço coluna da matriz A, isto é, b→ ∈ ColA. Desta forma, não é possível resolver o sistema quando b→∉ColA. Representamos esta situação na figura abaixo.
[pic 1]
O método dos mínimos quadrados consiste em olhar para o vetor p→ = projCol Ab→ e resolver o sistema linear associado
Ax→ = p→. |
Esta solução de Ax→ = p→ é chamada de solução de mínimos quadrados. A ideia é (ver figura) considerar o vetor pertencente a ColA que é o “mais próximo” possível de b→ e cujo sistema linear associado possua solução. Neste contexto, estamos pensando em mais próximo no sentido
∥b→ − projCol Ab→∥≤∥b→ −c→∥, para qualquer c→ ∈ ColA, |
isto é, no sentido de ser a projeção a melhor aproximação de b→ no espaço coluna de A. Escrevendo os vetores em coordenadas:
b→ = b1 b2 ⋮ b n e projCol Ab→ = p1 p2 ⋮ p n , |
podemos definir o valor
∥b→ − projCol Ab→∥ = ∑ i=1n(bi − pi)2 |
como o erro da aproximação ou erro quadrático. Logo, como anunciado, a soma dos quadrados dos erros obtidos cada componente é o mínimo possível.
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
2. Derivação Numérica
Dado um conjunto de pontos (xi , yi) n i=1, a derivada ( dy dx ) i pode ser calculada de várias formas.
2.1 Aproximação da derivada por diferenças finitas
Uma diferença finita é uma expressão da forma f(x+b)-f(x+a), que ao ser dividida por (b-a) chama-se um quociente de diferenças. A técnica de diferenças finitas consiste em aproximar a derivada de uma função via fórmulas discretas que requerem apenas um conjunto finito de pares ordenados {(xi,yi)}ni=1, onde geralmente denotamos yi=f(xi)
Essas fórmulas podem ser obtidas de várias maneiras. Começamos com a fórmula mais simples que pode ser obtida do cálculo diferencial. Seja f uma função diferenciável , a derivada de f no ponto x0 é, por definição,
[pic 7] Deste limite, tomando h≠0 pequeno (não muito pequeno para evitar o cancelamento catastrófico), é esperado que possamos obter uma aproximação razoável para f′(x0). Assim, a diferença finita progressiva de ordem 1 [pic 8] é uma aproximação para f′(Xo). Exemplo :. Usando a diferença finita progressiva de ordem 1, calcule aproximações da derivada de f(x)=cos(x) no ponto x=1 usando h=10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-12 e 10-14. Calcule o erro |D+,hf(1)-f′(1)| obtido para cada valor de h. Solução. Usando a diferença progressiva em (8.2), devemos calcular
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No GNU Octave, podemos calcular a aproximação da derivada f′(1) com h=0,1 usando as seguintes linhas de código:
f = @(x) cos(x);
x0 = 1;
h = 0.1;
df = (f(x0+h) - f(x0))/h
E, similarmente, para outros valores de x0 e h
[pic 10]
Figura 2: Erro absoluto das derivadas numéricas no Exemplo 8.1.1.
Exploremos o Exemplo 8.1.1 um pouco mais. Observamos que, para valores moderados de h, o erro |f′(1)-D+,hf(1)| diminui linearmente com h (veja Figura 8.1). Isto é consequência da ordem de truncamento da fórmula de diferenças finitas aplicada (que é de ordem 1). Porém, para valores muito pequenos de h<10-8, o erro passa a aumentar quando diminuímos h. Isto é devido ao efeito de cancelamento catastrófico.
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