Trabalho de Transferência de Calor

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- UNIJUÍ - UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Engenharia Mecânica Transferência de Calor (professor Roger Schildt Hoffmann) NOME: Maiquel Batista de Oliveira DATA: Julho de 2016

Trabalho – 20 pontos

1. Considere a condução bidimensional em regime permanente na seção quadrada    mostrada na figura abaixo. Determine as temperaturas nos nós 1, 2, 3 e 4 usando inversão de matrizes e método iterativo. Plotar gráfico (3D) de ambos os resultados.

1. Resolver usando o método direto (inversão de matrizes). Escreva as equações de diferenças finitas e o sistema matricial resultante.
2.  Resolver usando o método iterativo. Escrever as equações. Calcular até uma variação entre as iterações menor do que 0,1°C (ε = 0,1 °C).  

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Obs: As temperaturas das condições de contorno a ser utilizadas devem ser calculadas a partir do número de matrícula de cada aluno.  Obs2: entregar relatório com desenvolvimento dos cálculos, resultados e gráficos.  

Ex: número de matrícula – 6 6 4 9 4

a = 66 (dois primeiros algarismos)

b = 94 (dois últimos algarismos)

c = 64 (o segundo e o terceiro algarismo)

d = 49 (o terceiro e o quarto algarismo)  

(a/100) x 50 = 33°C ...

1. Método direto

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Distribuição de temperaturas conforme enunciado:

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Análise e definição das equações para os nós, neste caso 4 (quatro) nós:

Nó 1: T2 + T3 + a + b - 4T1 = 0

Nó 2: T1 + T4 + c + b - 4T2 = 0

Nó 3: T1 + T4 + a + d - 4T3 = 0

Nó 4: T2 + T3 + c + d - 4T4 = 0

Nó 1: T2 + T3 + 28,5 + 28 - 4T1 = 0

Nó 2: T1 + T4 + 140 + 28 - 4T2 = 0

Nó 3: T1 + T4 + 28,5 + 27 - 4T3 = 0

Nó 4: T2 + T3 + 140 + 27 - 4T4 = 0

Nó 1: T2 + T3 +56,5 - 4T1 = 0

Nó 2: T1 + T4 + 168 - 4T2 = 0

Nó 3: T1 + T4 + 55,5 - 4T3 = 0

Nó 4: T2 + T3 + 167 - 4T4 = 0

Ordenação das equações do nó 1 ao nó 4:

- 4T1 + 1T2 + 1T3 + 0 = -56,5

1T1 - 4T2 + 0 + 1T4 = - 168

1T1 + 0 - 4T3 + 1T4 = - 55,5

0 + 1T2 + 1T3 - 4T4 = - 167

Matriz [A] conforme ordenação acima:

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Matriz inversa:

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Matriz [C]    

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Equação: [T]=[A]-1*[C]

Exemplo de cálculo para se obter T1:

T1 = (-0,2197*-56,5) + (-0,0833*-168) + (-0,0833*-55,5) + (-0,0417*-167)

T1= 42,06°C[pic 8]

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Esquema com as temperaturas para gerar o gráfico.

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

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1. Método iterativo

Equações:

- 4T1 + 1T2 + 1T3 + 0 = -56,5

1T1 - 4T2 + 0 + 1T4 = - 168

1T1 + 0 - 4T3 + 1T4 = - 55,5

0 + 1T2 + 1T3 - 4T4 = - 167

T1(K) = (1T2(K-1) + 1T3(K-1) + 56,5) /4

T2(K) = (1T1(K) + 1T4(K-1) + 168) /4

T3(K) = (1T1(K) + 1T4(K-1) + 55,5) /4

T4(K) = (1T2(K) + 1T3(K) + 167) /4

T1(K) = 0,25T2(K-1) + 0,25T3(K-1) + 14,125

T2(K) = 0,25T1(K) + 0,25T4(K-1) + 42

T3(K) = 0,25T1(K) + 0,25T4(K-1) + 13,875

T4(K) = 0,25T2(K) + 0,25T3(K) + 41,75