Trabalho de calculo numerico

Universidade de São Paulo

SME300: Cálculo Numérico

1° Trabalho Prático

Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Método Iterativo de Gauss-Seidel

São Carlos

03/05/2019

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 1

2. OBJETIVOS ......................................................................................................... 1

3. MÉTODO ..................................................................................................................2

4. CÓDIGO .................................................................................................................. 3

5. RESULTADOS .................................................................................................... 6

6. CONCLUSÃO .................................................................................................... 11

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................ 11

1- Introdução

     O ramo acadêmico na área de computação visa, desde o início, facilitar a vida humana colocando  máquina para realizar trabalhos “braçais” que seriam desgastantes e tomariam tempo demais. Com o estudo de cálculo numérico aprende-se sobre métodos computacionais para resolução destes problemas, sendo eles matemáticos.

     O método de Gauss-Seidel estudado aqui, tem como objetivo a resolução de sistemas lineares a partir de um método iterativo. Este tem como vantagem a economia de tempo para a resolução de problemas e também a economia de dinheiro, devido a uma baixa necessidade de software para sua utilização.

2- Objetivos

1. O trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um código para resolução de sistemas lineares por Gauss-Seidel a partir da entrada de uma matriz real A, um vetor real B, um inteiro n, uma constante real e uma constante itmax. Este obtém a solução x^(k+1) de Ax=b, até que ||x^(k+1) - x^(k)||< E.

     2) Depois é necessário testar o subprograma para um E=10^(-10); n=100,200 e bi é a somatória de  j=1 até n de aij, com i=1,2,3…,n.

     3) Utilizar o subprograma obtido primeiramente para resolver o sistema Ax = b

onde A é uma matriz pentadiagonal definida nas instruções do trabalho e b é o

vetor definido por bi=1/i, i=1,...,n

 3 - Método

Como já mencionado na introdução, o método utilizado foi o de Gauss-Seidel. Tal método fornece vetores x^(k) cada vez mais próximos do vetor x solução. Para isso, o método baseia-se em transformar o sistema Ax = b no sistema equivalente x^(k) = Qx^(k-1) + c.

A fórmula do método do método que nos permite calcular o xi é dada por:

[pic 1]

Sabendo que A = (L+D+U), e sendo que L representa a matriz triangular inferior, U a matriz triangular superior e D uma matriz na qual dij = aij se i=j e aij = 0 se i ≠j, log: