Trabalho de cálculo 2 - Volume de Sólido por Revolução

SOCIESC-SOCIEDADE EDUCACIONAL DE SANTA CATARINA

Cálculo II

Professora: Barbara

Alunos:

André Luiz de Campos, Eduardo dos Santos Vieceli, Artur Ricardo Mebs

Turma: EGC-321

Volume de um Sólido de Revolução

Joinville 2015

André Luiz de Campos, Eduardo dos Santos Vieceli,Artur Ricardo Mebs

Volume do Sólido

[pic 1]

Trabalho de Cálculo II que será apresentado

no Sociedade Educacional de Santa Catarina, ministrada

pela professora Barbara  no curso de

engenharia de controle e automação da turma EGC321.

Sumário

1.introdução.

2.Desenvolvimento.

        2.1 Paquímetro.

        2.2 Escalímetro.

        2.3 Excel.

        2.4 Geogebra.

3.Descrição do desenvolvimento do trabalho.

4.Conclusão.

1.Introdução

Neste trabalho iremos calcular o volume de um sólido de revolução qualquer,onde temos como objetivo  de utilizar o cálculo das integrais através dos métodos que serão explicados neste trabalho.

Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície  determinado por uma pela área de uma função f(x)em torno de um eixo  denominado eixo de rotação ou eixo de revolução.

[pic 2][pic 3]

Para se calcular o volume de um sólido de revolução definida por funções em um intervalo , através da rotação em torno do eixo Ox ou em torno do eixo Oy,ou seja, Para calcular aproximadamente o volume de um sólido cilíndricovamos usar um processo de soma de Riemann dentro deum intervalo [pic 4] , onde [pic 5],assim com as subdivisões  podemos calcular o volume de vários subintervalos como sugere a figura abaixo:

[pic 6][pic 7]

Para cada subdivisão temos a largura,[pic 8] e para a altura do cilindro podemos escolher qualquer altura dentro dos intervalos.

Para calcular um volume de um cilindro é dado:

[pic 9]

Onde para se calcular o volume de cada cilindro tem se r=[pic 10]e a altura e dada por[pic 11] assim o volume de cada subdivisão  a função fica

Vi=[pic 12][pic 13]

Onde o volume aproximado total do cilindro seria a soma de todos os volumes:

[pic 14]

Quanto maior o número de o n da somatória mais próximo a somatória estará do volume real e se fizermos [pic 15], teremos o valor exato ou seja o limite da somatória e pelo teorema fundamental do cálculo relacionamos o limite com a integral definida como demonstra a figura abaixo:

[pic 16]

Neste trabalho iremos demonstrar o calculo do volume de revolução que no principio não possuía formula definida, e utilizaremos o método de calculo através soma de Riemann em seguida calcularemos o volume através da integral.

2.Desenvolvimento.

Materiais utilizados.

Para o desenvolvimento do trabalho foram usados as seguintes ferramentas;

2.1.Paquímetro- Para medir os diâmetros de cada ponto para retirar a função.

[pic 17]

Paquímetro analógico Mitutoyo com resolução de0.05 milímetros.

2.2Escalimetro- Para medir o comprimento total do gráfico.

[pic 18]

Escalimetro 1:100 de 30cm.

2.3Software Excel para retirar a função dos pontos medidos.

[pic 19]

Incluso no pacote Office do Windows.

2.4.Geogebra - Formulação das funções.

[pic 20][pic 21]

Disponibilizado gratuitamente no site do geogebra.org

3.Descrição do desenvolvimento do trabalho.

Para podermos calcular a função se faz necessário realizar algumas medições em cima do objeto para se saber o raio em relação a distancia.

Primeiramente foi utilizado a régua escolar apara se descobrir o comprimento total do objeto.

[pic 22]

Em seguida dividimos por uma quantidade de vezes aleatória para termos os pontos, ou seja, o raio em relação a distancia neste caso usamos o paquímetro para descobrir os diâmetros e dividindo os mesmo por 2 para descobrir o raio.

[pic 23][pic 24]

Após feito isso colocamos os pontos em uma planilha do Excel e utilizamos a função de pontos de dispersão para obtermos a função utilizando outra ferramenta com Excel criamos uma linha de tendência nos mostrara a curva semelhante a dos pontos e a função obtida.