Uma Breve, Não Tão Breve, História do Pi

Universidade do Estado do Rio Grande do Norte[pic 1]

Faculdade de Ciências Exatas e Naturais - FANAT

Departamento de Física - DFIS

Curso: Licenciatura em Física

Disciplina: Álgebra Linear Aplicada à Física

Professor: Dr. Aureliano Puça

Tarcísio Geovane Pereira Fernandes

Uma breve, não tão breve, história de pi

MAIO, 2019

Mossoró, RN

A  educação matemática que é dada no ensino básico deixa, muitas vezes, a falsa impressão de que a Matemática é um assunto cientificamente morto, isto é, que a Matemática é obra, somente, de alguns grandes matemáticos do passado (Euclides, Arquimedes, Lagrange, Cauchy,...) e que estudar Matemática consiste exclusivamente em rever o que esses matemáticos nos deixaram. Aqui pretendo mostrar, com um exemplo concreto, como a Matemática é um assunto dinâmico onde o passado, longe de ser um objeto estático feito  apenas para ser admirado é uma fonte de inspirção para novos avanços. O exemplo em questão é o número .[pic 2]

É difícil conceber algum tema matemático que seja mais popular do que o estudo das propriedades do número .  De fato, π e um dos poucos conceitos matemáticos que, quando citado, provoca uma reação de reconhecimento ou de interesse por parte de quem não está, usualmente, ligado ao assunto. Quase qualquer pessoa com o mínimo de conhecimento matemático sabe que e a razão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e que o seu valor é, muito  aproximadamente, 3,14. É também conhecido  que a área de um círculo pode ser obtida multiplicando  pelo quadrado do seu raio.[pic 3][pic 4][pic 5]

O perímetro de um círculo poder ser obtido multiplicando o seu diâmetro por uma constante é um conhecimento antigo; já há cerca de 4000 anos os babilônios afirmavam que aquela constante é e os egípcios que o seu valor é  Que uma tal constante deveria existir é algo que não é difícil de conjecturar, ou seja, é normal que se pense que, se tiver dois círculos, e se o diâmetro do primeiro é k vezes o diâmetro do segundo (para algum número positivo k), então o perímetro do primeiro também é igual a k vezes o perímetro do segundo. Por outras palavras, o quociente entre o perímetro e o diâmetro é o mesmo para todos os círculos. O problema está então em determinar o valor daquele quociente. Analogamente, basta alguma prática de cálculo de áreas para que se torne natural pensar que ao multiplicarmos o raio de um círculo por um número positivo k, estamos a multiplicar a sua área por k²; consequentemente, o quociente entre a área de um círculo e o quadrado do raio é o mesmo para todos os círculos. Uma questão que se levanta é a seguinte: dado um círculo de raio r, perímetro p e área A, porque os quocientes acima mencionados, são iguais? Há várias maneiras de justificar. A mais simples consiste, talvez, em observar que se dividir o círculo em um número elevado (e par) de pedaços iguais, como na Figura 1, então é possível reordenar esses pedaços do modo a obter algo muito próximo de um retângulo com altura r  e largura igual a metade do perímetro da circunferência, ou seja, igual a .  Logo, a sua área é igual a .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Como poderá ser visto, os matemáticos ocuparam-se não apenas com o cálculo do valor  de π mas também com a tentativa de determinar a sua natureza.

[pic 10][pic 11]

[pic 12]

Figura 1

Naturalmente, as primeiras tentativas de determinar o valor de π devem ter tomado a seguinte  forma:  algu´em  enrolava  uma  corda  em  torno  de  um  objeto  circular  (uma  roda,  por exemplo), marcava o ponto onde a corda tocava novamente na sua origem e em seguida via quantas vezes ´e que esse peda¸co de corda (o que ia desde origem at´e o ponto marcado) era maior do que o diˆametro da roda, eventualmente pegando um graveto do tamanho do diˆametro e observando quantos daquele tamanho eram precisos para que a soma dos seus comprimentos fosse igual  ao  comprimento  da  por¸c˜ao  de  corda. Então, por  este  processo, pode-se concluisr que π ´e ligeiramente superior a 3.  Infelizmente,  muitos  povos  antigos  n˜ao  deixaram documentos para explicar como chegaram aos resultados  matem´aticos que obtiveram, mas por vezes´  ,  é poss´ıvel conjecturar  quais  foram  os  m´etodos utilizados. Por exemplo ´e razo´avel supor que o valor aproximado de π obtido pelos antigos eg´ıpcios que foi acima mencionado , seja proveniente da seguinte observação: considera-se uma circunferência inscrita num quadrado que está dividido em nove quadrados iguais, como na Figura 2. É natural supor que as áreas do círculo e do octógono (irregular) que podem ser observados, são semelhantes. A área do octógono é igual à área de sete quadrados pequenos (ou seja, cinco quadrados pequenos mais quatro metades de quadrados). Se cada quadrado pequeno tiver 3 unidades do comprimento, a área do octógono será igual a  Então, a área do círculo de raio  é aproximadamente igual a 63 que, por sua vez, é aproximadamente  Então, um valor aproximado para  é:[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Figura 2

        Um grande progresso com relação à determinação do valor de  teve lugar, simultaneamente (e independentemente), na China e na Grécia no século III a.c. A ideia que surgiu foi a de considerar dois polígonos regulares com o mesmo número de lados, dos quais um estava dentro do outro de modo que o círculo cujo perímetro que desejava-se determinar, estivesse entre os dois. E mais, como na Figura 3, o polígono menor deveria estar inscrito na circunferência (ou seja, seus vértices deveriam ser pontos da circunferência) e, por outro lado, o polígono maior deveria estar circunscrito, desse modo, seus lados deveriam estar tangentes à circunferência. Então, o perímetro do círculo seria um valor intermédio entre os perímetros dos dois polígonos. Assim, quanto maior o número de lados dos polígonos, mais próximo os valores estariam do perímetro do círculo.[pic 20]