A Distribuição de Probabilidade de Poisson

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE POISSON

                        Na distribuição binomial, a v.a . X é o número de “sucessos” que ocorrem em n tentativas independentes do experimento. Podemos considerar agora uma variável aleatória X igual ao número de “sucessos” que ocorrem num intervalo contínuo.

        Por exemplo:

• número de chamadas X que uma telefonista recebe num intervalo de uma hora;

• o número de falhas em 1 m2 de tecidos;
• o número de vezes que um computador “trava” em um intervalo de 8 horas.

                        Uma variável aleatória assim, assume valores inteiros, ou seja, X=0, 1, 2, 3, 4, ... .

                        Um fenômeno ou experimento de Poisson tem as seguintes características:

• o número de sucessos que ocorrem num intervalo contínuo é independente daqueles que ocorrem em qualquer outro intervalo disjunto;
• em intervalos de mesmo comprimento a probabilidade de ocorrência de um mesmo número de “sucessos” é igual;
• em intervalos muito pequenos, a probabilidade de mais de um “sucesso” é desprezível.

                        Nessas condições, a variável aleatória X = número de sucessos que ocorrem num determinado intervalo contínuo de tem distribuição de Poisson com parâmetro λ e função de probabilidade dada por:

, para x = 0, 1, 2, ... ,

onde  λ é a média de sucessos no intervalo considerado.

EXERCÍCIO:

1. O número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, a cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro λ = 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de 3 navios aportarem por dia, os excedentes deverão seguir para outro porto.

1. Em um dia, qual é a probabilidade de se Ter de mandar petroleiros para outro porto? (0,145)
2. De quanto deverão as atuais instalações ser aumentadas para permitir manobrar todos os petroleiros, em aproximadamente 90% dos dias? (4)
3. Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem por dia? (2)
4. Qual é o número mais provável de petroleiros a serem atendidos diariamente? (1 ou 2)
5. Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente? (1,785)
6. Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente? (0,215)

DIST. CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE:

EXPONENCIAL E NORMAL

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL

                        A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Por exemplo, a exponencial é usada como modelo do tempo entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre a chegada de clientes a um supermercado, tempo entre chamadas telefônicas, etc. Há estreita relação entre a distribuição  exponencial e a de Poisson. Na verdade, se um processo de Poisson tem média  de λ ocorrências durante um intervalo, o espaço (ou tempo) entre ocorrências naquele intervalo é de 1/λ. Por exemplo, se as chamadas telefônicas ocorrem em média de 6 por hora, então o tempo médio entre as chamadas será de 1/6 de hora, ou seja, 10 minutos.

                        Uma variável aleatória contínua X é exponencialmente distribuída se, sua f.d.p. for do tipo

                        As probabilidades exponenciais se expressam em termos de tempo ou distância até que um evento ou ocorrência se verifique, ou seja, a variável aleatória X representa o tempo necessário até a ocorrência de um determinado evento .                        

                        Deste modo, com o emprego da fórmula,

P(X > x) = e-αx

podemos calcular a probabilidade de que o tempo ou a distância antes da primeira ocorrência de um evento seja maior que um dado espaço (ou tempo) x e, a  probabilidade de uma ocorrência de um evento em x ou antes de x é dada por:

P(X ≤ x) = 1- e-αx

Exemplo:

                        O tempo de vida X (em horas) das lâmpadas elétricas fabricadas por certa companhia é uma variável aleatória, tendo uma f.d.p. dada por

1. Calcular o valor de k.
2. Qual é a probabilidade do tempo de vida, de uma lâmpada dessa companhia, ser superior a 600 horas?
3. Qual é o tempo médio de vida esperado?

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL

                        A distribuição normal é a mais importante das distribuições contínuas de probabilidade, e tem sua origem associada aos erros de mensurações. A distribuição normal desempenha papel preponderante na estatística, e os processos de inferência nela baseados têm larga aplicação.

                        A distribuição normal tem sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por

Notação:  X ~ N(μ; σ2)

                        São propriedades da distribuição normal:

1. A distribuição é simétrica em relação a x = μ, pois f(x) é uma função par.
2. A função f(x) tem um ponto de máximo para x = μ.
3. A função f(x) é duplamente assintótica ao eixo das abscissas, ou seja,

 e

1. A função f(x) admite dois pontos de inflexão para x = μ  ± σ.

1. A função de distribuição acumulada é dada por

                        A função F(x), dada acima, pode ser colocada numa forma mais simples, considerando-se a transformação

,

que é a variável normal padronizada ou reduzida Z.

                        Notamos que a transformação utilizada consiste em adotarmos uma nova distribuição normal de média μ = 0 e variância σ2 = 1 ou desvio padrão σ = 1. Portanto,

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