Distribuição - Weibull

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São Paulo, 01 de Dezembro de 2014

ESTATÍSTICA 2

Distribuição de Probabilidade:
Distribuição de Weibull

Integrantes: 
Bruna Scandiuzzi
Giovanna Nabahan
Lariane Almeida
Mayara Mello
Tayná Novaes

SUMÁRIO

1. Apresentação da distribuição

1. Fatos Históricos
2. Aplicações

1. Cálculos

1. Fórmulas e suas variáveis
2. Exemplos
   

1. Conclusão

1. Bibliografia

        

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1. Apresentação da distribuição
   

1. Fatos Históricos
   
   

Ernest Hjalmar Waloddi Weibull (1887-1979) foi um renomado engenheiro e matemático sueco. Conhecido principalmente por publicar, em 1939, um trabalho de planejamento estatístico sobre a distribuição de Weibull associada a fadiga de material, Wallodi também carregou o título de professor de física aplicada no  Instituto Real de Tecnologia, além de ser o autor de diversos trabalhos sobre a resistência dos materiais.

1. Aplicações

Essa distribuição, de caráter contínuo, é amplamente utilizada na engenharia de confiabilidade e abrange praticamente todas as áreas da ciência devido a sua versatilidade, flexibilidade e simplicidade relativa. Seu sucesso se justifica não só pela sua eficácia, mas também ao fato de existirem recursos gráficos que facilitam sua interpretação e por ser capaz de fazer previsões de acurácia razoável mesmo quando a quantidade de dados disponível é baixa.

Em geral, a distribuição de Weibull nos permite calcular o tempo de vida médio de uma peça, analisar a taxa de falhas em função do tempo, e a confiabilidade de um sistema.

Um outro fato importante relacionado a ela é que na presença de co-variáveis, tem-se um modelo de riscos proporcionais e de falha acelerada. A distribuição de Weibull é a única distribuição de probabilidade que pode ser escrita dessa forma.

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Segue abaixo uma lista de exemplos encontrados em artigos com o uso da distribuição nas áreas de confiabilidade de matérias e produtos entre outras:

Resistência à fratura do vidro	“A statistical distribution of wide applicability” (1951) – J. Appl. Mech.
Variabilidade de capacidade de carga de helicópteros	“Load variability of two-bladed helicopters” (1997) – Boorla & Rotenberger.
Magnitude de terremotos	“Rare events – Applications to earthquake magnitude data” (1999) – Huillet & Raynaud.
Incidência do câncer de pulmão em fumantes	“Lung cancer incidence in cigarette smokers: further analysis for British physicians” (1976) – Whittenmore & Altschuler.

1. Cálculos
   

1. Fórmulas e suas variáveis

A variável aleatória T (tempo) como função densidade de probabilidade (probability density function – PDF):

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Onde ; e:[pic 3]

• β é o parâmetro de forma,

• η é o parâmetro de escala,

• γ é o parâmetro de localização.

Geralmente, o parâmetro de localização (γ) não é usado, e o valor para este parâmetro pode ser ajustado para zero. Quando isso acontece, a equação reduz para uma distribuição de Weibull de dois parâmetros.

Existe também a equação de um parâmetro, ela é igual à de dois, mas a única diferença é que o valor de β já é conhecido.

Como os parâmetros influenciam na distribuição?

• O parâmetro de forma (β) 

Influencia na forma da curva em um gráfico de probabilidade e nas características das falhas. Esse parâmetro é adimensional.

∘ Quando β <1: tem uma taxa de insucesso que diminui com o tempo, também conhecido como falhas infantis ou do início da vida.

∘ Quando β é próximo ou igual a 1: essa distribuição fica idêntica à distribuição exponencial e tem uma taxa de insucesso razoavelmente constante, indicando a vida útil ou falhas aleatórias. Pode ser uma indicação que modos de falhas múltiplos estão presentes ou que os dados coletados dos tempos para falhar são suspeitos.

∘ Quando β> 1: tem uma taxa de insucesso que aumenta com o tempo, também conhecido como falhas por desgaste. Podem ocorrer situações nas quais as falhas por desgaste ocorram depois de um tempo finito livre de falhas, e um valor de "β = 1" é obtido. Isto pode ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de itens imperfeitos, acarretando falhas antes de um tempo finito livre de falhas.

Os parâmetros da Distribuição de Weibull dos modos de falhas por desgaste podem ser deduzidos se forem eliminados os itens imperfeitos e analisados os seus dados separadamente. Estas três condições compreendem as três seções da "curva da banheira”.[pic 4]

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Pode-se ver que a forma da PDF pode assumir uma variedade de formas com base no valor de β.

• O parâmetro de escala (η) 

Uma alteração no parâmetro de escala (η) tem o mesmo efeito sobre a distribuição de uma mudança de escala de abscissas.  Ao aumentar o valor de η e manter constante o valor de β, temos o efeito de esticar a PDF. Uma vez que a área sob a curva da PDF é um valor constante, o "pico" da curva também irá diminuir com o aumento de η, como indicado na figura a seguir.