Variáveis Aleatórias Discretas

8. Variáveis Aleatórias Discretas

Quando estudamos a descrição de dados, vimos que os recursos disponíveis para análise das variáveis quantitativas são muito mais ricos do que para variáveis qualitativas. Isto sugere o uso de artifícios para transformar estas últimas variáveis naquelas do primeiro tipo. Por exemplo, considere o caso de um questionário, em que uma pessoa é indagada a respeito de uma certa proposição, e as respostas possíveis são SIM ou NÃO. Podemos associar uma variável que toma dois valores, 1 ou 0 por exemplo, correspondentes às respostas SIM ou NÃO, respectivamente. Estas variáveis numéricas, às quais iremos associar modelos probabilísticos, serão chamadas de variáveis aleatórias (v.a.).

8.1 O Conceito de Variável Aleatória Discreta

Exemplo 1: Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes, e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade do seu empreendimento, o empresário quer ter uma idéia da distribuição dos lucros por peça montada.

Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM, LONGO ou CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especificação, seja ela maior ou menor que a especificada. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produção de cada componente com as características BOM, LONGO e CURTO, estão na tabela abaixo.

Produto Fábrica A - cilindro Fábrica B - esfera

Dentro das especificações – BOM ( B ) 0,80 0,70

Maior que as especificações – LONGO ( L ) 0,10 0,20

Menor que as especificações – CURTO ( C ) 0,10 0,10

Se o produto final apresentar algum componente com as características C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao preço de 5 unidades. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preço de venda de cada unidade é de 25 unidades, como seria a distribuição das freqüências da variável X: lucro por conjunto montado ?

Primeiramente, vejamos a construção do espaço amostral para a montagem dos conjuntos segundo as características de cada componente e suas respectivas probabilidades. Desde que os conjuntos vêm de fábricas diferentes, vamos supor que sejam eventos independentes; assim, obtemos a seguinte configuração:

Cilindro Esfera

0,70 B 0,56

0,80 B 0,20 L 0,16

0,10 C 0,08

0,70 B 0,07

0,10 C 0,20 L 0,02

0,10 C 0,01

0,70 B 0,07

0,10 L 0,20 L 0,02

0,10 C 0,01

Uma representação do espaço amostral em questão está apresentada na tabela 8.1

Montagem Probabilidade Lucro por Montagem (X)

BB 0,56 15

BL 0,16 10

BC 0,08 -5

LB 0,07 10

LL 0,02 5

LC 0,01 -5

CB 0,07 -5

CL 0,02 -5

CC 0,01 -5

Tabela 8.1

Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir os seguintes valores:

15 se ocorrer o evento A 1 = { BB };

10 se ocorrer o evento A 2 = { BL, LB };

5 se ocorrer o evento A 3 = { LL };

-5 se ocorrer o evento A 4 = { BC, LC, CB, CL, CC }.

Cada um desses eventos tem uma probabilidade, ou seja, P( A1) = 0,56; P( A2) = 0,23; P( A3) = 0,02; P( A4) = 0,19, o que nos permite escrever a função ( x, p(x)) da tabela 8.2, que é um modelo teórico para a distribuição da variável X, que o empresário poderá usar para julgar a viabilidade econômica do projeto que ele pretende realizar.

X p(x) Aqui, x é o valor de X, e p(x) é a

15 0,56 probabilidade de X tomar o valor de

10 0,23 x. A função ( x, p(x)) é chamada de

5 0,02 função de probabilidade da variável

-5 0,19 aleatória X.

Total 1,00 Tabela 8.2

Exemplo 2. Se considerarmos Y como sendo a variável custo de recuperação de cada conjunto produzido, verificaremos que Y irá assumir os valores:

0, se ocorrer o evento B 1 = { BB, BC, LC, CB, CL, CC };

5, se ocorrer o evento B 2 = { BL, LB };

10, se ocorrer o evento B 3 = { LL }.

A função de probabilidade da variável aleatória Y está representada na tabela 8.3:

y p(y)

0 0,75

5 0,23

10 0,02 Tabela 8.3

8.2 Valor Esperado de uma Variável Aleatória

Uma pergunta que logo ocorreria ao empresário do nosso exemplo 1 é qual o lucro médio por conjunto montado que ele espera conseguir. Da tabela 7.2, observamos que 56% das montagens devem produzir um lucro de 15 unidades, 23% um lucro de 10 unidades, e assim por diante. Logo, o lucro esperado por montagem será dado por:

Lucro médio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5 ) + (0,19) (-5) = 9,85

Definição: Dada a variável aleatória discreta X, assumindo os valores x1, x2, x3, ...xn, chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor:

E(X) = 