Teoria dos Grupos e Anéis

Teoria dos Grupos e Anéis

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6.1. Definição de Operações Binárias

Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE → E recebe o nome de operação binária sobre E. Notação: f(x , y) = x * y.

6.1.1. Propriedades de Operações Binárias

        Seja * uma operação binária sobre um conjunto E.

1. Fechamento: Para quaisquer x e y  E tem-se x * y  E
2. Associativa: Para quaisquer x, y e z  E tem-se: x * (y * z) = (x * y) * z.
3. Comutativa: Para quaisquer x, y  E tem-se: x * y = y * x.
4. Elemento Neutro:

Existe, um elemento, e  E tal que, para todo x  E tem-se x * e = e *x = x.

1. Elementos Simetrizáveis:

x'  E, é chamado simétrico de x se x * x' = x' * x = e (elemento neutro).

1. Elementos Regulares:

a  E, é um elemento regular se:    x, y  E.

6.1.3. Exercícios Propostos

1) Considere as tabelas abaixo e, responda:

*	1	2		*	1	2		*	1	2		*	1	2		*	1	2
1	1	1		1	1	1		1	1	2		1	1	2		1	2	1
2	1	2		2	2	2		2	1	1		2	2	2		2	1	2
TABELA 1		TABELA 2		TABELA 3		TABELA 4		TABELA 5

1. Quais das tabelas acima, de operação binária (*) no conjunto {1, 2}, são comutativas? Justifique a sua resposta.
2. Responda: “a tabela 5 é associativa?”. Justifique a sua resposta.
3. Preencha a tabela:

	TABELA 1	TABELA 5
Elemento neutro
Simétrico de 1
Simétrico de 2

2) Considere  a operação * definida sobre o conjunto R* x R , onde:

        (a, b) e (c,d)    R* x R,  (a,b) * (c,d)   =  (ac, ad + b). Verifique as propriedades: comutativa, associativa, elemento neutro e elemento simétrico.

6.2. Grupos

6.2.1.Definições e aplicações

Sejam G, um conjunto, não vazio, e * uma operação binária sobre G. Dizemos que G é um grupo em relação à operação *, e denotamos por (G,*) se, e somente se:

1. a * (b * c) = (a * b) * c                         a, b e c  G;
2. Existe e  G tal que a * e = e * a = a   a  G;
3. Todo elemento de G é simetrizável em relação a operação *, isto é:

 a  G,  a'  G tal que a * a' = a' * a = e (elemento neutro)

Exemplo: Mostre que (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) é um grupo.

6.2.2.Grupos Comutativos ou Abelianos

        Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano ou comutativo se, e somente se,

a * b = b * a         a, b  G.

Exemplo: Prove que: M2x2(IR) é um grupo abeliano.

6.2.3. Subgrupos

        Seja (G, ∆) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H, H  G, é um subgrupo de G se, somente se:

1.  a, b  H  a ∆ b  H   (isto é, H é fechado para a lei de composição interna de G);
2. (H, ∆) também é um grupo  (a lei de composição é a mesma de G, só que restrita a H).

OBS: A propriedade associativa é válida  para todo, os elementos de G; em particular, é válido aos elementos de H ; pois , H  G.

TEOREMA:

Seja (G, ∆) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. H é um subgrupo de G se, somente se:

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