A ANALISE CONBINATORIA

Análise Combinatória

A análise combinatória é a área da matemática que tem como função estudar a quantidade de agrupamentos que podem ser formados a partir de um conjunto de valores. O foco é o estudo dos tipos de agrupamento, que são resolvidos pelo princípio fundamental da contagem. Esses agrupamentos são a permutação, a combinação e o arranjo. Cada tipo tem aplicações específicas, e o que determina qual deve ser usado é a situação em que se encontram e o objetivo da contagem.

Esse ramo da Matemática também exige domínio de uma operação específica, que é o fatorial de um número, representado pelo símbolo de exclamação – “!”. Calcular o fatorial de um número é encontrar o produto desse número pelos seus antecessores. Vale dizer também que o cálculo dos agrupamentos é de grande importância para a área de probabilidade, o que torna a análise combinatória um pré-requisito para quem deseja dominá-la a fundo.

Qual é a função da análise combinatória?

Como o nome sugere, a análise combinatória tem como função analisar e contar todas as combinações possíveis. Os agrupamentos estão constantemente presentes no nosso dia a dia e prever essas combinações é fundamental para a tomada de decisões.

Você já se perguntou quantos resultados podem ser obtidos na loteria? Ou a quantidade de senhas possíveis para que a sua senha de banco seja segura? A combinação faz parte do nosso cotidiano, desde objetos simples, como a placa de um carro – que deve ser única por estado –, o Cadastro de Pessoa Física (CPF), que é único por cidadão, até as decisões mais complexas, como algoritmos de programação, investimentos em bolsas etc. Além disso, a análise combinatória dá suporte para outras áreas de conhecimento e para estudos mais aprofundados na própria matemática.

Princípio fundamental da contagem

Base para a análise combinatória, o princípio fundamental da contagem é uma forma rápida de calcular a quantidade de combinações possíveis para determinadas decisões. Conhecido também como PFC, esse princípio diz o seguinte:

Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e uma decisão d2 pode ser tomada de m maneiras, e essas decisões são independentes entre si, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado por (n · m).

A aplicação do princípio fundamental da contagem é bastante simples quando se entende bem a situação proposta, o que pode dificultar muito é a interpretação do problema, e não o cálculo em si.

• Exemplo

Em uma sanduicheria, os sanduíches são vendidos em combos. O cliente pode escolher um entre três tipos de carne (frango, porco ou bovina), um entre três tipos de queijo (muçarela, cheddar ou prato) e um entre dois tipos de bebidas (refrigerante e suco). Sendo assim, quantas vezes um cliente pode pedir um combo sem repeti-lo?

Resolução 1:

Sem usar o princípio fundamental da contagem, uma forma de resolução possível é realizar a listagem das escolhas e contar o número de possibilidades.

Ao todo o cliente terá que tomar três decisões (carne, queijo, bebida). Podemos listar todas as possibilidades por meio de uma tabela, lista ou diagrama. O problema é que esse processo se torna cada vez mais trabalhoso quando a quantidade de possibilidades para cada decisão aumenta.

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Resolução 2:

Pelo princípio fundamental da contagem, chegamos à mesma quantidade, mas sem a necessidade de fazer a lista de todas as possibilidades. Sabemos que há três decisões a serem tomadas, então o número de possibilidades é igual ao produto das possibilidades de cada uma dessas decisões:

• 3 tipos de carne
• 3 tipos de queijo
• 2 tipos de bebidas

3.3.2 = 18 possibilidades

Fatorial de um número

A multiplicação de um número por seus antecessores é bastante recorrente em problemas que envolvem análise combinatória, e é importante compreender as operações com fatorial e também as possíveis simplificações.

Seja n um número natural maior que 2, chamamos de n! (n fatorial) a operação:

n! = n. (n-1). (n-2) . … 3. 2 .1

• Exemplos

5! = 5.4.3.2.1= 120

10! = 10 . 9. 8 . 7 .6 .5 .4. 3. 2. 1 = 3.628.800

Por definição, temos que:

0!=1

1!=1

Tipos de agrupamentos

Os agrupamentos estudados na análise combinatória são a permutação, combinação e arranjo. Cada um deles é empregado em uma situação e possui métodos específicos para ser calculado. O que deve ficar claro é quando devemos escolher o agrupamento e como realizar o cálculo.

• Permutação

Conhecemos como permutação os agrupamentos ordenados de todos os elementos de um conjunto. Permutar é trocar de posição, formando uma nova ordem.

A permutação de um conjunto com n elementos é calculada por:

P = n!

Aplicações: problemas que envolvem anagramas, filas, posições.

Lembre-se de que, para ser permutação, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados. Além disso, a ordem dos elementos é importante.

• Exemplo

Quantos anagramas existem na palavra AMOR?
Anagrama nada mais é do que a troca de posição entre as letras da palavra, formando novas palavras, que podem fazer sentido ou não na nossa língua. Esse problema é uma permutação porque estamos calculando todos os agrupamentos possíveis ao mudar a ordem de todos os elementos do conjunto.

Resolução 1 (pelo PFC):

A palavra AMOR possui 4 letras. Pelo PFC vamos tomar 4 decisões, ou seja, escolher a primeira, segunda, terceira e quarta letra.

• 1ª letra: Para escolher a primeira letra, há quatro possibilidades (A, M, O, R).
• 2ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira, restam três possibilidades, independentemente da escolha.
• 3ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira e outra na segunda posição, restam duas possibilidades, independentemente das escolhas.
• 4ª letra: Como já escolhemos três letras (primeira, segunda e terceira posição), resta apenas uma possibilidade para a quarta letra.

Pelo PFC o número de anagramas da palavra amor será calculado por: 4.3.2.1. Esse produto é igual a 24 possibilidades.

Resolução 2:

Vale ressaltar que a fórmula da permutação resulta do princípio fundamental da contagem, logo ela pode ser utilizada de forma direta.

Como a palavra AMOR tem quatro letras, o total de anagramas possíveis é dado pela permutação de quatro elementos.