A Atividade Individual Matemática Financeira

Matriz de atividade individual

Disciplina: Matemática Financeira

Aluno: Pedro Luiz

Turma: 0422-2_3

Tarefa: Atividade individual

Caso 1 – Planejamento de aposentadoria

Considerações para resolução do problema:

• Paulo tem 30 anos e faltam 3 meses para completar 31, portanto 471 meses.
• Taxa de inflação é zero, portanto a taxa de juros da aplicação (aparente) pode ser considerada a taxa de juros real.

[pic 1]

[pic 2]

Logo:

[pic 3]

Sendo:

iA = taxa de juros aparente

iR = taxa de juros real

I = inflação

• Taxa de juros da aplicação é de 12,6825% ao ano.

Através da fórmula de equivalência de capitalização composta, temos a seguinte equação:

[pic 4]

[pic 5]

Substituindo o valor da taxa anual na fórmula, chegamos:

[pic 6]

[pic 7]

Logo:

[pic 8]

Sendo:

Im = taxa de juros mensal

Ia=taxa de juros anual

1. Para chegar no saldo que Paulo precisa acumular para se aposentar aos 70 anos recebendo R$ 10.000,00 mensais, foi preciso calcular a perpetuidade da aplicação com os dados e considerações dadas.

[pic 9]

Substituindo os valores:

[pic 10]

Portanto pode-se concluir que com R$ 1.000.000,00 aplicados no investimento com taxa de juros de 1% ao mês lhe permitiria que tirasse R$ 10.000,00 por mês para o resto da vida.

1. Para calcular o quanto Paulo precisa depositar todo mês para atingir o saldo de R$ 1.000.000,00 aos 70 anos foi preciso utilizar a calculadora HP 12C, onde foi utilizado os parâmetros abaixo:

N = 471

FV = 1.000.000,00

PV = 0

I = 1

Ao solicitar o PMT para a calculadora a mesma retornou o valor de -93,04, ou seja, Paulo precisa depositar R$ 93,04 todo mês, até completar 70 anos, na aplicação financeira com taxa de juros rendendo 1% ao mês para que o juro composto o ajude a atingir seu objetivo de R$ 1.000.000,00, permitindo sua aposentadoria.

1. Caso Paulo comece com um investimento inicial de R$ 25.000,00, ainda com o auxilio da HP 12C, os parâmetros para o cálculo da taxa devem ser alterados conforme abaixo.

N = 471

FV = 1.000.000,00

PV = - 25.000

I = 1

Ao solicitar o PMT, a HP 12C retornou um valor de 159,29, ou seja, Paulo poderia sacar todo mês até completar seus 70 anos o valor de R$ 159,29. Para confirmar o resultado, calculei a taxa do primeiro mês, sendo 1% de 25.000, R$250,00. Portanto apesar de sacar R$ 159,29, sua aplicação ainda estaria acumulando R$ 90,71 ao saldo da aplicação. Apenas por curiosidade, caso Paulo não venha a sacar os R$ 159,29, ao completar 70 anos terá acumulado um saldo de R$ 2.712.108,50.

1. Para determinar o valor de um único investimento que Paulo precisaria depositar na aplicação financeira para atingir seu objetivo foi utilizado a HP 12C com os seguintes parâmetros:

N = 471

I = 1

FV = 1.000.000,00

PMT = 0

Ao solicitar o PV, a HP 12C retornou o valor de -9.217,92, o que indica que se Paulo fizer um deposito de R$ 9.217,92 reais em uma aplicação que renda 1% ao mês, o juro composto irá trabalhar de forma que aos 70 anos, Paulo tenha R$ 1.000.000,00. O resultado desta alternativa comprova que a alternativa anterior está correta, pois se depositado um valor superior, o rendimento irá ultrapassar o objetivo de Paulo.

Caso 2 – Liberação de crédito a empresas

Considerando as informações passadas pelo enunciado da questão, para calcular o valor das prestações que a empresa deverá pagar, foi utilizado a calculadora HP 12C para auxiliar nos cálculos. Para tal, foi definidos os seguintes parâmetros:

PV = 350.000

N = 48

I = 1,2

FV = 0

Ao solicitar o PMT, a HP 12C retornou o valor -9.634,64, o que implica dizer que a empresa deve pagar ao banco mensalmente R$ 9.634,64 para amortizar totalmente seu empréstimo ao longo destes 4 anos.

Agora para entender se a taxa de juros efetiva que está sendo paga pela empresa é a mesma informada pelo banco, foi preciso calcular a TIR, pois esta nos informa a taxa mínima que o projeto deveria apresentar, de forma a tornar o valor do investimento nulo.

Para solucionar encontrar a TIR foi utilizado o Microsoft Excel. Nele foi lançado numa o período referente ao fluxo de caixa e na outra coluna o fluxo de caixa do respectivo período. Foi considerado como mês zero a retirada do empréstimo, R$ 300.000,00. A partir do mês 1 foi lançado - R$ 9.634,64 referente a prestação calculada anteriormente. Este valor de prestação foi preenchido até a linha do mês 48, com exceção do mês 12, pois neste mês foi resgatado o valor de R$ 50.000,00 da aplicação que o banco exigiu que a empresa depositasse no título de capitalização com rendimento nulo. Portanto no mês 12, o fluxo de caixa ficou R$ 40.365,36 (R$ 50.000,00 resgatados, subtraído o valor da prestação R$ 9.634,64). Ao final dos 48 meses foi inserido a fórmula =TIR (Selecionado todo fluxo de caixa, do mês zero ao 48). Com isso o Excel retornou uma taxa interna de retorno de 1,2944%, o que indica que a taxa efetiva deste empréstimo foi de aproximadamente 1,3% e não 1,2% conforme o banco informou ao cliente.

Vale ressaltar que, por curiosidade, calculei a TIR considerando o cliente recebendo os R$ 350.000,00 inicialmente e pagando as devidas prestações (R$ 9.634,64) ao longo dos 48 meses, e desta forma a TIR encontrada foi exatamente 1,2%, o que demonstra que a manobra do banco foi realmente para ganhar uma taxa de juros efetiva maior.

Outra curiosidade, caso a aplicação em que os R$ 50.000,00 foram depositados rendesse uma taxa de juros de 15,38% ao ano, a empresa teria resgatado o valor de R$ 57.694,64 no mês 12, e assim, recalculando a TIR, chegaríamos na taxa de juros efetiva de 1,2%, como o banco havia proposto a empresa.

Caso 3 – Impacto no rendimento de aplicação em poupança

Para resolução do problema vamos fixar algumas informações pesquisadas na internet.

Segundo site do Infomoney, https://www.infomoney.com.br/guias/poupanca/, a Poupança apresenta a mesma rentabilidade independente da instituição financeira, portanto independente do banco, a rentabilidade do investimento é o mesmo no mesmo período aplicado. Outro ponto importante para resolução do nosso problema é que a poupança apenas rentabiliza na data de aniversário do depósito, portanto se o investimento foi feito no dia 01/01/2020, ele só irá rentabilizar todo dia 01, até ser resgatado por completo.

Já a inflação, foi pesquisada considerando a taxa IPCA como referência, e encontrei as informações do período completo no site do banco Nubank, https://blog.nubank.com.br/ipca-2022/.

As taxas de rendimento da poupança de 2020 e 2021 também foram pesquisadas no site do banco Nubank, nos links https://blog.nubank.com.br/qual-o-rendimento-da-poupanca-em-2020/ e https://blog.nubank.com.br/qual-o-rendimento-da-poupanca/.

Agora para determinar o ganho real do investimento no período estipulado pelo caso 3, foi realizado uma simulação no Microsoft Excel. Para melhor compreensão defini o valor de R$1.000,00 como depositados no início do período, 01/01/2020. Como o rendimento só irá rentabilizar todo dia 01, e o mesmo foi resgatado no dia 15/06/2021, os valores de rendimento da poupança e IPCA referentes ao mês de junho de 2021 não foram considerados, visto que o estes só influenciariam se o investimento fosse resgatado após 01/07/2021.

Para melhor compreensão da tabela abaixo, a coluna de rendimento da poupança foi alimentada com os dados encontrados no site da Nubank, conforme referenciado acima. A coluna do IPCA do período também foi alimentada com os dados encontrados no site do Nubank no link acima referenciado também. A coluna taxa real foi calculada utilizando a fórmula abaixo:

[pic 11]

Onde:

iA = taxa da poupança

iR = taxa real

I = Inflação, IPCA do período

Para calcular os valores do saldo na aplicação, considera-se o valor do período anterior e multiplica por 1 mais o rendimento da poupança do período anterior. Este é o valor que o consumidor que investiu R$ 1.000,00 na poupança enxerga todo mês como saldo.

Exemplo do cálculo do saldo na aplicação em 01/02/2020:

[pic 12]

E assim foi calculado todos os demais períodos, considerando o mesmo raciocínio.

Já o valor corrigido considera os mesmos R$ 1.000,00 iniciais, porém foi corrigido mês a mês baseado no IPCA do respectivo período. Sendo seu calculo realizado: saldo anterior multiplicado por 1 mais o IPCA do período anterior.

Exemplo do cálculo do valor corrigido pela inflação em 01/02/2020:

[pic 13]

E as demais linhas da tabela consideram o mesmo raciocínio.

Para calcular o ganho real, utilizei da mesma fórmula, para melhor entendimento segue a fórmula do ganho real da linha dois:

[pic 14]

Para as demais linhas do ganho real foi considerado sempre o saldo anterior e utilizando a taxa real do respectivo período.

Rendimento da poupança no período:

[pic 15]

Correção do valor pelo IPCA ao longo do período:

[pic 16]

Ganho real ao longo do período:

[pic 17]

Conclusão da atividade: Apesar de o consumidor enxergar um rendimento da poupança de 2,7857% no período em que deixou aplicado seu dinheiro, a inflação no mesmo período superou esta taxa, 7,8812%. Se observar a taxa real calculada a cada período, a partir de junho de 2020 o investimento na poupança perdeu seu valor comparado com a inflação no período. Isso significa que o poder de compra a partir deste período foi desvalorizado. Uma compra mensal que custava R$ 1.000,00 em janeiro de 2020, em junho de 2021 esta mesma compra custará R$ 1.078,81. E analisando o ganho real, que foi calculado com a taxa real, implica que o investimento foi negativo em 4,8354% no período.