AS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDAS

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NESTE CAPÍTULO VOCÊ IRÁ APRENDER:

• PROBABILIDADES

• DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDAS

• DISTRUBIÇÃO BINOMIAL

• DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

• DISTRIBUIÇÃO NORMAL

INTRODUÇÃO

A origem da probabilidade pode se dizer que está ligada ao século XVI. As primeiras aplicações baseavam-se quase todas ligadas a jogos de azar.

Atualmente ainda há diversas aplicações ligadas a jogos, entretanto a probabilidade tem sua utilização largamente utilizada pelos governos e empresas nas tomadas de decisões em seus processos diários e deliberações.

O desenvolvimento das teorias da probabilidade e os avanços dos cálculos probabilísticos devem ser atribuídos a vários matemáticos.

As bases da teoria do cálculo das probabilidades e da análise combinatória foram estabelecidas por Pascal e Fermat, as situações relacionando apostas no jogo de dados levantaram diversas hipóteses envolvendo possíveis resultados, marcando o início da teoria das probabilidades como ciências.

Através de estudos mais detalhados no campo das probabilidades tem-se alguns matemáticos que contribuíram para a sintetização de uma ferramenta muito utilizada cotidianamente. Dentre os mais importantes, podemos citar:

• Blaise Pascal (1623 – 1662);
• Pierre de Fermat (1601 – 1655);
• Jacob Bernoulli (1654 – 1705);
• Pierre Simon Laplace (1749 – 1827);
• Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855);
• Lenis Poisson (1781 – 1840).

Vários desses estudiosos deram seus nomes a teorias desenvolvidas por eles.

As contribuições de Bernoulli enfatizaram os grandes números, abordando as combinações, permutações e a classificação binomial. Laplace formulou a regra de sucessão e Gauss estabelecia o método dos mínimos quadrados e a lei das distribuições das probabilidades. Atualmente, os estudos relacionados às probabilidades são utilizados em diversas situações, sendo sua principal aplicação destinada à Estatística Indutiva (Inferência Estatística), na acepção

de amostra, extensão dos resultados à população e na previsão de acontecimentos futuros.

PROBABILIDADES

Enquanto a Estatística é baseada em experiências, o cálculo das probabilidades se baseia em postulados lógicos.

Chama-se “Probabilidade Matemática” de um acontecimento a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, desde que haja rigorosa equipossibilidade entre todos os casos.

Designando por “N“ o número de casos possíveis (espaço amostral ou conjunto universo) e por “A” o número de casos favoráveis, temos a probabilidade:

𝑝 =

---

𝑁 º𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

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𝑁º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠

𝐴

𝑝 = 𝑃(𝐴) =[pic 3]

𝑁

O valor de p é sempre uma fração compreendida entre zero e um, pois o número de casos favoráveis não pode nunca ser maior que o número de casos possíveis.

Exemplos:

---

0 ≤ 𝑝 ≤ 1

Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:

N → Cara ou Coroa = 2 (total de possibilidades) A → Cara = 1 (casos favoráveis)[pic 4]

Logo:

1

𝑝 = 𝑃(𝐴) =[pic 5]

2

Considerando o lançamento de um dado, seja o evento A “obter um número par na face superior:

N → 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6 (total de possibilidades)[pic 6]

A →        2, 4, 6 = 3 (casos favoráveis) Logo:

3        1

𝑝  = 𝑃(𝐴) =        =[pic 7][pic 8]

6        2

Os valores limites da probabilidade são:

• p = 0 → quando A=0, isto é, não há casos favoráveis
• p = 1 → quando A=N, isto é, todos os casos são favoráveis.

A probabilidade contrária ou probabilidade do não acontecimento

costuma ser simbolizada pela letra “q”, 𝑞 = 𝛼

𝑁

---

, sendo α é o número de casos

favoráveis ao não acontecimento (casos contrários).

A soma dos casos favoráveis com os casos contrários dá o número de casos possíveis 𝐴 +  𝛼 = 𝑁 o que nos permite uma conclusão importante:

𝑝 + 𝑞 =

---

𝐴        𝛼

+[pic 9][pic 10]

𝑁        𝑁

---

𝐴 + 𝛼

=[pic 11]

𝑁

---

𝑁

=        = 1[pic 12]

𝑁

EVENTOS COMPLEMENTARES

Sabe-se que um evento pode ocorrer ou não. Sendo “p” a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e “q” a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso ou fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

𝑝 + 𝑞 = 1   {𝑞 = 1 −  𝑝

𝑝 = 1 − 𝑞

Sabe-se que a probabilidade de tirar ponto 3 em um dado é p = 1/6. Logo a probabilidade de não tirar o ponto 3 é:

1        5

𝑞  = 1 − 𝑝 = 1 −        =[pic 13][pic 14]