MATEMÁTICA FINANCEIRA - INTRODUÇão

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Caderno 2 / 4

Prof. Antonio Carlos M. Mattos
Material registrado na BNRJ

TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS
JUROS SIMPLES versus JUROS COMPOSTOS
PROJEÇÃO DE PAGAMENTOS
APLICAÇÕES
FLUXOS A VALORES CORRENTES E INDEXADOS
TAXA DE JUROS REAL E APARENTE
RELAÇÃO DE FISHER
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO
DEPRECIAÇÃO, CORREÇÃO MONTETÁRIA E FLUXO DE CAIXA
UTILIZANDO PERCENTAGENS
AS PRESTAÇÕES "SEM JUROS"
UM EXEMPLO COMPLETO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

 

TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS

Consideremos uma taxa de 1 % a/m. Há duas maneiras de se converter essa taxa mensal para anual. A primeira, correta, é obtida via juros compostos, valendo 12,68 % a/a. A segunda maneira, incorreta, é 1 x 12 = 12 % a/a, calculada via juros simples.

Como ambas as conversões são utilizadas na prática, costuma-se diferenciá-las através da seguinte nomenclatura:

• A taxa de 12,68 % a/a, obtida via juros compostos, chama-se taxa de juros efetiva;
• A taxa de 12,00 % a/a, obtida via juros simples, chama-se taxa de juros nominal ou proporcional ou pro rata tempore ("proporcional ao tempo" -- note que em latim não há acentos nem hifens)

Obs: Por vezes, pode ser encontrada a frase: "Taxa efetiva de juros simples", o que parece ser uma contradição. Na realidade ela deve ser entendida como "a taxa final calculada é efetiva, embora a operação envolva alguns cálculos de juros simples". Tal é o caso do cálculo do custo efetivo (juros compostos) de uma operação de desconto de duplicatas (juros simples). No entanto, tal frase deve ser evitada para não causar confusão.

Quando um contrato especifica juros simples, é comum se referir a "juros pro rata die", quando o cálculo do juros é diário. "Juros pro rata mense", quando é apenas mensal (sem incluir fração do mês). E "juros pro rata anno", quando anual. Naturalmente, a frase "juros pro rata tempore" é indefinida e não deve ser usada.

 

JUROS SIMPLES versus JUROS COMPOSTOS

Nos juros simples, as conversões de taxas produzem sempre juros nominais. Hoje em dia, não se utilizam juros simples em análises profissionais, mas apenas juros compostos. Neste modelo, as conversões de taxas sempre produzem juros efetivos.

A tabela comparativa abaixo ilustra a diferença entre os dois modelos.

AMORTIZAÇÃO DE $ 100 A JUROS SIMPLES
Dívida	Juros devidos de 20%	Juros pagos	Amortização paga	Parcela paga	Juros não pagos
100	20	15	50	65	5
50	10	15	50	65	- 5
TOTAL	30	30	100	130	0
AMORTIZAÇÃO DE $ 100 A JUROS COMPOSTOS
100	20	15	50	65	5
55	11	16	50	66	- 5
TOTAL	31	31	100	131	0

Como notamos, os juros simples de $ 5, devidos e não pagos no vencimento, não são incorporados ao principal da dívida. Já na segunda tabela, os juros não pagos são incorporados, resultando em um acréscimo de $1 nos juros pagos, junto com a segunda parcela. Esse $1 a mais é o "juro sobre juro".

"JUROS SOBRE JUROS": NOTAS LEGAIS

A proibição de cobrança de juros sobre juros ainda está em vigor no Brasil (DL 22.626 de 7.4.33, art. 4º, Lei da Usura). Mas esta lei só vale para juros acumulados mensalmente. Vencido um ano, os juros podem ser incorporados ao valor da divida, e sobre eles podem ser cobrados juros (artigo 4º). No entanto, a MP-1063 permitiu a capitalização mensal.

Para os juristas, ANATOCISMO é sinônimo de "cobrança de juros sobre juros". Para uma detalhada discussão sobre o assunto, veja "A Tabela Price É Ilegal", "A Tabela Price É Legal" e "Tabela Price". Este último artigo é do autor de conhecidas tabelas de atualização monetária (correção monetária), onde valores antigos (cruzeiros, cruzados etc.) são facilmente convertidos e atualizados para a moeda corrente (R$). Essas tabelas de atualização monetária são oficialmente usadas pelos tribunais. A Tabela Price é usada para o cálculo de juros compostos.

É sempre bom estar preparado para essas infindáveis e antigas discussões sobre o anatocismo, que vêm desde o tempo do Deuteronômio ou do Alcorão, onde se proibe taxativamente a cobrança de juros, seja ele simples ou composto.

O uso do anatocismo (do grego "aná" = "outra vez", e "tokos" = juros) tem sido, através dos séculos, ora aceito, ora condenado. Em 51 AC se encontram as primeiras referências do famoso orador romano Marcus Tullius Cicero (106 AC – 43 AC), por ocasião do julgamento de uma ação, onde estava em discussão o uso de juros simples ou compostos. E até hoje ainda não existe um acordo geral sobre o assunto, embora o juro composto seja o modelo usado pelos profissionais de finanças há muito tempo.

...