Universidade Federal de São João del-Rei
Por: Andressa Ladeira • 6/10/2022 • Seminário • 1.170 Palavras (5 Páginas) • 140 Visualizações
Universidade Federal de São João del-Rei[pic 1]
Cálculo Numérico
Prof. Jonathan Esteban Arroyo Silva
Trabalho 4 e 5
Cálculo Numérico
Andressa Marileia Ladeira
Larissa Braga Ferreira
Pietro Tófoli de Araújo
Lucas Henrique Inez Ribeiro
Luis Henrique Oliveira Freitas
Dezembro de 2021
Desafio 1
Tendo a seguinte integral:
[pic 2]
Por uma tabela de valores dessa integral encontramos:
K(1) = 1.5708; K(2) = 1.5719; K(3) = 1.5739
Determinar K(2.5), usando polinômio de interpolação, na forma de Lagrange e de Newton separadamente, sobre todos os pontos.
Detalhe:
• É necessário apresentar o desenvolvimento da resolução e não apenas a solução.
Resolução:
FORMA DE LANGRAGE
Na forma de Langrage, procuraremos o polinômio da forma:
[pic 3]
Considerando as informações do enunciado, temos:
n = 3;
[pic 4][pic 5]
[pic 6][pic 7]
[pic 8][pic 9]
Calculando [pic 11][pic 10]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 19][pic 18]
Substituindo na fórmula, temos:[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Para determinar K(2.5) através do polinômio de interpolação na forma de Langrage, encontramos a forma e, em seguida, substituímos k por 2.5:[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Dessa forma, por meio da forma de Langrage, K(2.5) é igual a 1.5727875.
FORMA DE NEWTON
A diferença dividida é um conceito importante para chegar ao polinômio interpolador. Utilizando-a, conseguimos escrever os polinômios na seguinte forma:
[pic 29]
Considerando as informações do enunciado, temos:
n = 3;
[pic 30][pic 31]
[pic 32][pic 33]
[pic 34][pic 35]
Assim:
[pic 36]
Agora, calculando a diferença dividida, temos:[pic 37][pic 38][pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
k | K(k) | [pic 44] | [pic 45] |
1 2 3 | 1.5708 1.5719 1.5739 | 0.0011 0.002 | 0.00045 |
Substituindo em , temos:[pic 47][pic 46]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
Para determinar K(2.5), vamos substituir k por 2.5 na fórmula anterior:[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Logo, pela forma de Newton, também obtemos o valor de 1.5727875.
Desafio 2
Um dispositivo tem uma certa característica y que é função de uma variável x. Através de várias experiências foi obtido o gráfico:
[pic 55]
Deseja-se conhecer o valor de y para x = 0.5. Da teoria sabe-se que a função que descreve y tem a forma aproximada de uma curva do tipo Obtenha valores aproximados para a e b, usando todas as observações, e então estime o valor para y quando x = 0.5.[pic 56]
Detalhe:
• É necessário apresentar o desenvolvimento da resolução e não apenas a solução.
Resolução:
Através do método de mínimos quadrados, faremos:
x | 0.4 | 0.6 | 1.0 | 1.4 | 1.8 | 2.2 |
f(x) | 1.4 | 2.0 | 2.2 | 2.8 | 3.0 | 3.2 |
Queremos encontrar , sendo:[pic 57]
[pic 58]
Montando o sistema linear, temos:
[pic 59][pic 60][pic 61]
Cada deve ser calculado em todos os pontos de x, então:[pic 62]
[pic 63]
Devemos calcular os produtos escalares:
[pic 64][pic 65][pic 66]
[pic 67][pic 68][pic 69]
[pic 70][pic 71][pic 72]
Substituindo no sistema linear, temos:
[pic 73]
Realizando a multiplicação de matrizes (foi calculado no R), teremos o vetor c:
[pic 74]
Dessa forma, faremos a substituição na função:
[pic 75]
Ficando:[pic 76]
[pic 77]
Logo, substituindo x por 0.5 nessa equação, teremos:[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
Desafio 3
Tendo a seguinte tabela, utilize o MMQ para aproximar f(x) por um polinômio de ordem 2 e 3:
x | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.5 | 6.0 | 7.5 | 9.0 | 10.0 | 11.0 |
f(x) | 2.0 | 25 | 70 | 80 | 220 | 250 | 440 | 500 | 560 |
Detalhe:
• É necessário apresentar o desenvolvimento da resolução e não apenas a solução;
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