Álgebra Vetorial e Matricial

[pic 1]

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Ciências Exatas e Tecnológicas

Álgebra Vetorial e Matricial - Profª Ms. Marjúnia Edita Zimmer Klein ([e-mail])

5. Produto escalar

        Chama-se de produto escalar de dois vetores [pic 2] e  [pic 3], e se representa por [pic 4], ao número real: [pic 5].

Ex.: 1) Dados os vetores [pic 6]  e  [pic 7], tem-se:

[pic 8]= (3).(4) + (-5).(-2) + (8).(-1)= 14

       2) Dados os vetores [pic 9] (3;2;1)  e  [pic 10](-1;-4;-1), calcular:

       a) ([pic 11]+[pic 12]) . (2[pic 13]-[pic 14])

       b) [pic 15]. [pic 16]

       c) [pic 17].[pic 18]

Solução:

1. [pic 19]+[pic 20]= (2;-2;0) e 2[pic 21] - [pic 22]= (7;8;3)

Logo, ([pic 23]+[pic 24]) . (2[pic 25]-[pic 26]) = -2

1. [pic 27]. [pic 28]= 14
2. [pic 29].[pic 30]= 0

3) Dados os vetores [pic 31] (4; [pic 32];-1) e [pic 33]( [pic 34];2;3) e os pontos A (4; - 1; 2) e B( 3; 2; - 1), determinar o valor de [pic 35] tal que [pic 36]. ([pic 37] + [pic 38]) = 5.

[pic 39]= B – A = ( 1; -3; 3)

       [pic 40]+ [pic 41]= ([pic 42]+1; -1;6)

       Ao substituirmos tudo isso, na igualdade, conseguimos [pic 43]= 7/3

5.1.Propriedades do produto escalar

I) [pic 44].[pic 45]= [pic 46].[pic 47]

II) [pic 48]. ([pic 49]+[pic 50])=[pic 51].[pic 52]+[pic 53].[pic 54]   e   ([pic 55]+[pic 56]).[pic 57]=[pic 58].[pic 59]+[pic 60].[pic 61]

III) [pic 62]([pic 63].[pic 64])=([pic 65][pic 66]).[pic 67]=[pic 68].([pic 69][pic 70])

IV) [pic 71].[pic 72]> 0 se [pic 73][pic 74]0 e [pic 75].[pic 76]= 0 se [pic 77]=[pic 78]=(0;0;0).

V) [pic 79].[pic 80]=[pic 81]

De fato, vimos que o módulo do vetor [pic 82]= (x;y;z), é dado por [pic 83]=[pic 84]. Como [pic 85].[pic 86]= [pic 87]

Conclui-se que: [pic 88]= [pic 89], ou de modo equivalente [pic 90]= [pic 91].[pic 92]

5.2. Definição geométrica do produto escalar

Se [pic 93] e [pic 94]são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, então [pic 95].[pic 96]= [pic 97].[pic 98]. cos θ.[pic 99][pic 100]

[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

[pic 105][pic 106]

[pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

[pic 112][pic 113]

“O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado”.

Observações :

1. [pic 114].[pic 115]> 0 [pic 116]cos θ > 0 [pic 117]0° [pic 118]  θ < 90°
2. [pic 119].[pic 120]< 0 [pic 121]cos θ < 0 [pic 122]90° <  θ [pic 123] 180°
3. [pic 124].[pic 125] = 0 [pic 126]cos θ = 0 [pic 127]θ = 90°

Observe as figuras abaixo, cada uma delas representa a situação acima.

[pic 128]

[pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]

[pic 133]

[pic 134][pic 135][pic 136][pic 137]

[pic 138][pic 139][pic 140]

[pic 141][pic 142][pic 143]

       

    Exemplos ( dar um exemplo de aplicação da fórmula, como está no livro, pág.52 e outro que calcula o ângulo, página 56, ex. 1 e 2)

    Exemplos ( pág. 52: 1, pág. 54: 2 e 3 pág. 56: 1,2 e 3)

5.3. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor

      Seja um vetor [pic 144] , não nulo.

      Ângulos diretores com os vetores de [pic 145] são os ângulos [pic 146] que [pic 147]forma com os vetores [pic 148], respectivamente.

...