PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

                                      MATEMÁTICA

             FINANCEIRA

CEF-2012

I -         CONCEITOS BÁSICOS

II-        JUROS SIMPLES

III-      JUROS COMPOSTOS

IV-      TAXA DE JUROS

V-       DESCONTOS

VI-      PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS  E    

             FINANCIAMENTOS

VII-    CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL  EFETIVO DE OPERAÇÕES  

            DE  FINACIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO                                        

VIII-   AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

IX -    TAXAS DE RETORNO

I-    CONCEITOS BÁSICOS

-Capital (C) – quantidade de dinheiro que será transacionada

-Juro (J) – remuneração pelo uso do capital

-Taxa de Juros (i) – relação entre os juros pagos e o capital num intervalo de tempo chamado período

-Montante (M) – soma do capital com os juros no final do prazo

-Fluxo de Caixa – relação de entradas e saídas de dinheiro

-Regimes de Capitalização

• Sistema de Capitalização Simples ou Juros Simples; o juro de qualquer período é constante pois é sempre calculado sobre o capital inicial.
• Sistema de Capitalização Composta ou Juros Compostos; o juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os juros acumulados até o período anterior.
• Na resolução dos problemas é importante que a PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS e o PRAZO de aplicação estejam expressos na mesma unidade de tempo.

II-   JURO SIMPLES

O  juros será simples quando  incidir apenas sobre o valor do capital inicial. Nos períodos subsequentes, os juros não serão acrescidos de  novos juros. Capital inicial ou valor principal  é o valor inicialmente considerado na transação, antes de somarmos os juros. Suas fórmulas são:

J = C . i . t

M = C + J

M = C + C.i.t

Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula com o seguinte aspecto:

M = C ( 1 + it)

O fator (1 + it) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL para juros simples.

Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital C  pelo fator de acumulação de capital (1 + it).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES

01.

 Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.ooo,00 aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a, pelo prazo de 1,5 anos.

dados:
M = ?
C = 10000
i = 4% a.a. = 0,04 a.a.
t (prazo) = 1,5 anos

lembrando:

J = C.i.t

M = C + J

No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a periodicidade da taxa de juros  é igual a do prazo . Então podemos escrever diretamente que t = 1,5.

J = C. i. t
J = 10000 . 0,04 . 1,5
J = 600
M = C + J
M = 10000 + 600
M = R$ 10.600,00

Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula: M = C (1 + it). O resultado é o mesmo:
M = 10000 (1 + 0,04 . 1,5)
M = 6000 . 1,06
M = R$ 10.600,00

02.  

Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00 durante 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa de 5% a.t.

Dados:

M =?

C = 10000

t = 3 anos

i = 5% a.t.

Observe que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter a taxa, de trimestral para anual.

t = 3 anos
i = 5% a.t. = 20% a.a. ( 1 ano tem 4 trimestres e, portanto, 5% . 4 = 20% a.a.) = 0,20 a.a.

lembrando:

M = C + J

J = C.i.t

M = C + C.i.t

substituindo os dados:

M = C + C.i.t

M = 10000 + 10000.0,20.3

M = 10000 + 6000

M = R$ 16.000,00

Taxas Proporcionais

Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t. para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples), raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20% em quatro trimestres. Observe que:

20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre

Assim, duas taxas i1 e i2, com os respectivos períodos n1 e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:

i1/n1 = i2/n2

Outros exemplos:

2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m
10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s
6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m
36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t

 

03-

 Uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 01/02/12, será paga em 10/03/12, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de juros comercial (1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro) de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:

dados:
J = ?
i = 36% a.a. = 0,1% a.d.= 0,001 a.d.
t = número de dias entre 01/02/12 e 10/03/12 = 40 dias ( 30 dias de janeiro + 10 dias de fevereiro, uma vez que o ano é o comercial)
C = 1.000

lembrando:

J = C.i.t

Substituindo:

J = C.i.t

J = 1.000 . 0,001.40

J = R$ 40,00

OBSERVAÇÃO:

Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.

JURO EXATO