SOMA DE CALCULO

Cálculo de Somas Alternadas Através da Derivada

Como motivação vejamos um problema de poupança.

João Louco decide poupar com a ajuda do amigo José, fazendo depositos e retiradas. No primeiro dia ele dá [;R\$ \ 1,00;] para José guardar, no segundo dia ele decide pegar [;R\$ \ 2,00;] de volta, no terceiro dia ele pede para José guardar [;R\$ \ 3,00;] e assim por diante. Quanto dinheiro João Louco terá no final de [;30;] dias?

Resolução: A solução deste problema é uma aplicação imediata da seguinte proposição:

Proposição 1: A soma alternada dos [;n;] primeiros inteiros positivos é dada por

[;\sum_{k=1}^{n}(-1)^k k = \frac{(2n+1)(-1)^n - 1}{4} \qquad (1);]

Demonstração: Uma forma de provar este resultado é através da indução finita, mas este método tem a desvantagem de que é necessário conhecermos de antemão a expressão à direita da igualdade [;(1);]. Por isso, iremos usar uma técnica construtiva.

[;f(x) = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n;]

Para [;x \neq 1;], temos:

[;f(x) = \frac{(1 + x + x^2 + \ldots + x^n)(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1};]

Derivando [;f(x);], obtemos:

[;f^{\prime}(x) = \frac{(n+1)x^n(x-1) - (x^{n+1} - 1)\cdot 1}{(x - 1)^2} \quad \Rightarrow;]

[;\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \frac{(n+1)x^n}{x - 1} + \frac{1 - x^{n+1}}{(x-1)^2} \qquad (2);]

Fazendo [;x = -1;] em [;(2);], segue que

[;\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k = \frac{(-1)^{n}(n + 1)}{-1 - 1} + \frac{1 - (-1)^{n+1}}{4} \qquad \Rightarrow;]

[;-\sum_{k=1}^{n}(-1)^k k = \frac{-2(n+1)(-1)^n + 1 + (-1)^n}{4} \qquad \Rightarrow;]

[;\sum_{k=1}^{n}(-1)^k k = \frac{2(n+1)(-1)^n - 1 - (-1)^n}{4} = \frac{(2n+1)(-1)^n - 1}{4};]

A solução do problema do João Louco é dado por:

[;\sum_{k=1}^{30} (-1)^{k-1} k = - \sum_{k=1}^{30} (-1)^{k} k = - [\frac{(2\cdot 30 + 1)(-1)^{30} - 1}{4}];]

[;= -\frac{61 - 1}{4} = -15,00 \ reais;]

Um resultado cuja demonstração é análoga é dado pela seguinte proposição:

Proposição 2: A soma alternada dos [;n;] primeiros inteiros positivos ao quadrado é dada por