Série De Pagamentos

Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num período de tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatório é deduzido a partir da equação da capitalização composta VF=VP(1+i)n para o cálculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica limitada, de razão q = 1 + i.

Perceba que a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é efetuada hoje.

Situação Problema

Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?

Solução:

R = 500 (valor da parcela mensal)

i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008

n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais

Utilizando a expressão (1):

VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58

Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão:

Situação Problema

Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.

Solução:

n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres

VF = 25.000 (valor futuro)

i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo

Utilizando a expressão (2), temos:

R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035)20 -1]} = 884,03

Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas.

Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação , substituindo o VF da expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo:

VP R R R R R

0 1 2 3 (n-1) n

Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme

Situação problema

Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.

Solução:

n = 6 (número de parcelas mensais)

R = 200 (valor de cada parcela mensal)

i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo.

VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14

Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.

Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão:

Situação Problema:

Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.

Solução:

Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;

Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05

n = 4 parcelas mensais

Usando expressão (4) temos:

R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141

SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS

Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos.

Acumulação de Capital

Situação problema:

Qual