Calculo

Para determinar uma tangente num certo ponto P, Fermat fez o seguinte: ele imaginou outro ponto Q localizado em uma curva, formando a reta PQ e fazendo-a secante em relação a esta curva. Fazendo o ponto Q “deslizar” até o ponto P, sobre tal curva, ele obteve uma reta PQ aproximada de outra reta t, reta esta que Fermat chamou de tangente em relação à curva no ponto P.

Foi observado por Fermat que, em certas funções, nos pontos onde a curva detinha valores extremos, a tangente ao gráfico deveria se caracterizar como sendo uma reta do tipo horizontal, uma vez que comparada ao valor assumido por tal função num dos pontos P(x, f(x)) com o valor do outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era mínima, praticamente nula,quando comparada com o valor de E, diferença entre abscissas de Q e P. Deste modo, ele relacionou a determinação de tangentes à curvas e de extremos.

Assim nascia o conceito da derivada. Dentre muitos tópicos deste assunto (que é muito extenso, contendo a Regra da Cadeia, a Regra de L’Hopital, entre outros), falarei de como se resolve uma derivada básica:

Imagine uma função x elevada ao quadrado (x²). A derivada desta função, que leremos como f ‘(x) (função x linha), será 2x,. Por quê? Vocês concordam que f(x) = x² pode ser lido como f(x) = 1. x² (função de uma vez x²)? Então, para definir da derivada desta função, subtraímos 1 do expoente (no caso, o número 2) e multiplicaremos o número do expoente original pelo número que esta multiplicando x, ficando, no exemplo dado: f ‘(x) = 2.1.x2+1, que é f’’(x) = 2x. Dando outro exemplo: a derivada de f(y) = 3y5 é f ’(y) = 15y4.

Colégio Web, Derivada e integral cálculos fundamentais. Disponível em < http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/derivada-integral-calculos-fundamentais-matematica.html#ixzz3JNKipeUT)> Acesso em 18 de Novembro de 2014.

2.1 APLICAÇÕES DA DERIVADA

Umas das utilizações na construção civil de derivadas é o projeto de estruturas que usa as equações derivadas da teoria da elasticidade para dimensionar as colunas, vigas e lajes. De acordo com o peso que esses elementos vão suportar, além de seu peso próprio, e dos materiais utilizados (concreto ou aço), as máximas tensões calculadas não podem exceder o seu limite de escoamento. Como ilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nas perfis estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 21 kgf/mm2.Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a ele pesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após ser liberado da carga. Na construção mecânica, principalmente na aviação, onde não se pode abusar do recurso de superdimensionar os elementos estruturais para aumentar sua resistência, (o avião ficaria desnecessariamente pesado e, portanto antieconômico), o cálculo preciso é fundamental. Como as formas muitas vezes são complexas e difíceis de equacionar matematicamente, a solução é o uso da aproximação pelo método dos elementos finitos.