LISTA DE APOIO – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA - GABARITO

LISTA DE APOIO – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA - GABARITO

1) Sejam [pic 3] funções reais definidas por [pic 4] e [pic 5]. Determine:

Solução.

1. [pic 6]= f(5-2) = f(3) = 3(3) + 1 = 10.
2. [pic 7]= g[3(-2) + 1] = g(-5) = - 5 – 2 = – 7  
3. [pic 8]= f(x – 2) = 3(x – 2) + 1 = 3x – 6 + 1 = 3x – 5.
4. [pic 9]= g(3x + 1) = (3x + 1) – 2 = 3x – 1.

2) Sejam [pic 10]tal que [pic 11] e [pic 12] tal que[pic 13]. Determine:

Solução.

1. [pic 14] = f(1 + 1) = f(2) = (2)2 – 2 (2) = 4 – 4 = 0.
2. [pic 15] = g[(2)2 – 2(2)] = g(4 – 4) = g(0) = 0 + 1 = 1.
3. [pic 16]= f(g[(4)2 – 2(4)] = f(g(16 – 8)) = f(g(8)) = f(8 + 1) = f(9) = (9)2 – 2(9) = 81 – 18 = 63.
4. [pic 17] = f[(-1)2 – 2(- 1)] = f(1 + 2) = f(3) = (3)2 – 2(3) = 9 – 6 = 3.

3) Sejam [pic 18] e [pic 19] funções reais definidas por [pic 20],[pic 21] e [pic 22] . Determine:

Solução.

a) [pic 23]= f(x + 3) = (x + 3)3 = x3 + 6x2 + 27x + 27.

b) [pic 24]= g(x3) = x3 + 3.

c) [pic 25]= h(x3) = - (x3)2 = - x6.

d) [pic 26]= f(- x2) = (- x2)3 = - x6.

4) Sejam as funções [pic 27]reais definidas por [pic 28] e [pic 29] com a ∈ R.

Determine [pic 30] a fim de que, para todo x real, [pic 31]=[pic 32].

Solução.

i) f(g(x)) = f(3x – 2) = 2(3x – 2) + a = 6x – 4 + a

ii) g(f(x)) = g(2x + a) = 3(2x + a) – 2 = 6x + 3a – 2

Se f(g(x)) = g(f(x)), então: 6x – 4 + a = 6x + 3a – 2.

Temos: a – 3a = 4 – 2. Logo – 2a = 2 implicando que a = - 1.

VERIFICAÇÃO: f(g(x)) = 6x – 4 – 1 = 6x – 5.

                          g(f(x)) = 6x + 3(-1) – 2 = 6x – 3 – 2 = 6x – 5.

5)  Sejam [pic 33] funções reais definidas por [pic 34] e [pic 35].

Resolva, em R, as equações:

Solução.

i) f(g(x)) = f(x2 – 3) = (x2 – 3) – 1 = x2 – 4.

ii) g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2 – 3 = x2 – 2x + 1 – 3 = x2 – 2x – 2.

iii) g(g(x)) = g(x2 – 3) = (x2 – 3)2 – 3 = x4 – 6x2 + 9 – 3 = x4 – 6x2 + 6.

a)[pic 36]. [pic 37]

b)[pic 38]. [pic 39]

c)[pic 40]. [pic 41]

6) Sejam [pic 42] e [pic 43], qual é a solução da equação  [pic 44]?

Solução.

i) f(1) = (1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 5 +6 = 2

ii) f(2) = (2)2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

iii) f(0) = (0)2 – 5(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6

iv) f(g(2)) = f[2(2) + 1)] = f(4 + 1) = f(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6

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