ATPS Cálculo III

ETAPA 01 – Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é muito importante para vice fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realiza-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 01 – (Equipe)- Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

Resolução:

A integral indefinida pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Enquanto a integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos definidos, daí o nome integral definida.

O "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.

O Cálculo Diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o Cálculo Integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área.

Isaac Newton descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método anteriormente descrito pelo matemático Riemann,).

Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.

Os avanços no cálculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos métodos de exaustão e compressão para efetuar cálculos de áreas delimitadas por curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Resolução: História da Integral

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura, resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional.

Para muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados.

Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:

- Hipócrates de Chios (cerca de 440 a.C.): executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas;

- Antiphon (cerca de 430 a.C.): afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos;

- Eudoxo (cerca de 370 a.C.): usou um método chamado de exaustão;

- Arquimedes (287-212 a.C.): conhecido como o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiramente mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho, foi um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade;

Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes, como o árabe Thabit ibn Qurrah (826-901) quem desenvolveu sua própria cubatura. Assim também o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século X) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn. O matemático Al-Haytham (965-1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem chegou a ser famoso por seu trabalho em ótica. E assim em diante, muitos outros matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o caminho que hoje facilita o Cálculo Integral em diversos ambientes, sendo usada como uma ferramenta de auxilio.

3. Façam o download do Software Geogebra.

PASSO 02 – (Equipe) – Leiam os desafios propostos:

Desafio A:

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫(a³/3 + 3/a³ + 3/a) da?

Resolução:

1/3∫ a³ da + 3∫a-3 da + 3∫1/a da

= 1/3 . a4/4 - 3.a-2/2 + 3.ln/a/ + C

= a4/12 – 3/2a2 + 3.ln/a/ + C

Resposta correta: Alternativa B

Desafio B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

Resolução:

C(q) = 1000+50q

= 1000 dq + 50q dq

= 1000q + 25q2 + C

C(0) = 1000 .0 + 25.02 + C

C(0) = 10000

C(q)= 10000 + 1000q +25q²

Resposta correta: Alternativa A

Desafio C:

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre