Apostila Produto Vetorial Poduto Escalar E Produto Misto

Produtos de Vetores

Com este capítulo temos os seguintes objetivos

• Calcular a norma de um vetor a partir de sua expressão analítica;

• Calcular o ângulo formado entre dois vetores;

• Determinar o vetor projeção;

• Calcular o produto vetorial entre dois vetores;

• Utilizar o produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo;

• Reconhecer vetores coplanares com o uso do produto misto.

Produto Escalar

Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores

e

e se representa por , ao número real

Atenção: dois vetores são perpendiculares se e somente se o

produto escalar for nulo.

O produto escalar de se lê “

Exemplos:

Se = (3, -5, 8) e = (4, -2, -1) então

= 3.(4) + (-5).(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14

(observe que o resultado é um número).

Vamos praticar

1. Se = (2, 3, 4) e = (-2, 4, 5), calcule seu produto escalar

2. Os vetores = (2, -3, 4) e = (5, 2, -1) calcule

EXERCÍCIOS

1. Seja os vetores =(3,2,1) e = (-1,-4,-1)

a) ( + ).(2 - )

b) b) .

c) 0.

2. Efetue as operações abaixo para

= (1, 4, 5), = (3, 3, -2) e = (-5, 7, a)

a) . b) . c) 3 .2

d) (3 - 4 ).(5 ) e) ( . ). f) .( . )

NORMA DE UM VETOR

Módulo ou norma de um vetor ,denotado por | | é o número real não negativo

= no caso que temos =(x,y)

=

= ou ainda

=

Ou ainda

=

Exemplo:

Obtenha a norma do vetor =(3,2,1) e = (-1,-4,-1), obtenha ainda o valor de 2 +3I I

Atividade em sala: ache a norma dos vetores

= (1, 4, 5), = (3, 3, -2) e = (-5, 7, 0)

Obtenha o valor do dobro da norma vetor u, menos o triplo da norma vetor v menos a norma vetor w.

A partir da norma de um vetor podemos obter um vetor unitário, pensemos que é o vetor unitário obtido a partir de um vetor , teremos:

=

Exemplo: Obtenha um vetor unitário a partir dos vetores

a) =(3,4,0)

b) = (-1,-4, 5)

Atividade em sala: ache a norma dos vetores

= (9, 0, -8), = (3, 3, -2) e = (-5, 7, 0)

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre dois vetores, não nulos, é igual ao produto de suas normas pelo cosseno do ângulo formado entre eles, veja.

= . .

Como desejamos saber qual é o ângulo entre estes dois vetores, temos:

Atenção, dois vetores serão ortogonais (formando ângulo de 90°) e, e somente se, seu produto escalar for zero.

VAMOS FAZER JUNTOS

ATENÇÃO

Vamos ver isto por um exemplo:

Exercícios em sala: Mostrar que os vetores =(1, -2, 3) e = (4, 5, -2) são ortogonais

a) Mostre que os vetores =(3,2,1) e = (-1,-4,-1) não são