O Produto Escalar
Por: Dennylson10 • 27/5/2018 • Trabalho acadêmico • 1.138 Palavras (5 Páginas) • 363 Visualizações
Introdução
O presente trabalho retrata sobre produto escalar de um vector, propriedades do produto escalar, o produto de dois vectores pode ser de natureza escalar ou de natureza vectorial. O produto escalar caracteriza-se pelo facto de ser uma entidade numérica resultante da operação de vectores. Este é o caso que você vai estudar nesta lição: produto escalar de dois vectores e algumas das suas aplicações imediatas resultantes da sua definição.
Definição
O produto escalar é uma função binária definida entre dois vectores que fornece um número real como resultado.
Dados dois vectores e o produto escalar pode ser calculado como: [pic 1][pic 2][pic 3]
O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = [pic 4]
Produto escalar
[pic 5]
Onde θ é o ângulo formado pelos vectores, e || e || seus comprimentos.[pic 6][pic 7]
Da figura acima podemos ver que o produto A cosθ representa o comprimento do vector A na direcção do vector . Se fosse uma força o produto escalar então mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direcção de .[pic 8][pic 9][pic 10]
Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).
. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
O produto escalar entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
[pic 11]
Onde θ é o ângulo formado por e por [pic 12][pic 13]
Propriedades de Produto escalar
Quaisquer que sejam os vectores
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
5 [pic 18]
6 [pic 19]
7 [pic 20]
Da desigualdade de Cauchy - Schwarz podemos deduzir a chamada Desigualdade Triangular:
[pic 21]
[pic 22]
O nome da desigualdade vem da geometria euclidiana:
Se A, B e C são vértices de um triangulo, então um lado tem medida de comprimento sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Se então o lado AC representa o vector . Então [pic 23][pic 24]
+ .[pic 25][pic 26]
Angulos entre dois vectores Outra forma de escrever o produto escalar entre v e w é onde e o angulo formado entre v e w .[pic 27][pic 28]
[pic 29]
Com ela, podemos obter o angulo entre dois vectores quaisquer , pois : [pic 30][pic 31]
, onde u e v são diferentes de zero .[pic 32]
Exemplo
Determine o ângulo entre o vector [pic 33]
Resolução:
Pela definição teremos: [pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Deste modo teremos:
[pic 37]
Desigualdade triangular
[pic 38]
Bases ortonormais e ortogonais
Lembremos que uma base de é um conjunto de 2 vectores l.i . = {,}.[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
Dizemos que uma base é uma base ortogonal se e forem ortogonais (⊥), isto é, . = 0.[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
Por exemplo se o vector e , = {,} é uma base ortogonal pois o . e os vectores não são nulos .[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]
Geometricamente, formam um ângulo de [pic 57][pic 58][pic 59]
[pic 60]
Base ortonormal
Se, alem de ortogonais entre si, os vectores e forem unitários , então a base e dita ortornormal .[pic 61][pic 62]
Exemplo: formadas pelos vectores de e do exemplo anterior, é uma base ortornominal.[pic 63][pic 64][pic 65]
A base canónica é uma base ortornominal de .[pic 66][pic 67]
De maneira análoga uma base ortogonal do espaço cartesiano de é um conjunto de três vectores não nulos, 2 a 2 ortogonais ( e consequentemente são l.i. ): [pic 68]
satisfazendo [pic 69][pic 70]
Projecção ortogonal
Seja V um espaço vectorial sobre conjunto com o produtom interno e um conjunto ortonominal. [pic 71][pic 72][pic 73]
A projecção ortogonal de um vector sobre é o valor : . [pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
Exemplo seja e determine a projecção ortogonal de sobre [pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]
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