Atps Calculo Numerico

INTRODUÇÃO

Nessas Etapas vamos trabalhar com a Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Na Etapa 3 veremos conceitos introdutórios de sistemas lineares, tais como, a caracterização matemática de um sistema linear, a notação matricial de um sistema linear; classificação de um sistema quanto à solução, compatível ou não compatível.

Na Etapa 4 iremos realizar de forma prática, métodos numéricos para resolver problemas de sistemas de equações lineares utilizando o Método Exato da Decomposição LU e o Método Exato de Eliminação de Gauss.

1. OBJETIVOS

Nosso objetivo nesse trabalho é resolver nas etapas proposta cada passo de maneira clara e objetiva e descrever os conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo.

ETAPA 3

PASSOS

Passo 1 (Equipe):

Caso Real de Aplicação de Sistemas Lineares

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número b.

Exemplos:

x + y + z = 20

2x –3y + 5z = 6

4x + 5y – 10z = –3

x – 4y – z = 0

Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Solução de um sistema linear

Dado o sistema:

x + y = 3

x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:

x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3

2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20

2x – 2y + 2z = 8

2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20

2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8

2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Passo 2 (Equipe):

Respostas para as afirmações.

I – o determinante da matriz A é 118, segundo o calculo demonstrado abaixo:

=

64 - 0 + 30 + 24 + 0 + 0 = 118

Det= 118

Portanto a afirmativa I esta certa .

II- a matriz inversa de A não é A-1= , podemos verificar observando a calculo a seguir:

Para verificar deve-se multiplicar a matriz A pela matriz A-1 e o resultado devera ser uma matriz identidade do tipo

Organizando as matrizes:

A =

A matriz A-1 deve ser transformada em fração e igualar seus denominadores para facilitar o calculo:

A-1 = = =

Assim:

A = x A-1 =

A x A-1 =

Portanto a afirmação II esta errada.

III - o sistema é possível e determinado ( sistema compatível ), por que como já vimos na afirmativa I a det A ≠ 0, e possui uma única solução que é i1 = 9,79; i2=4,11; i3 =-13,9, vejamos a solução :

1 1 1 0

10 -8 0 65 L 23

8 0 -3 120

1 1 1 0 x (-8) x(-10)

8 0 -3 65

10 -8 0 120

1 1 1 0

0 -8

-11 120 ÷ (4)

0 -18 10 65