Atps De Equações Diferenciais Etapa 1 E 2

ETAPA 1

PASSO 1

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa

pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações,

além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente

as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias – em relação a uma variável).

A modelagem matemática é a area do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharia. Ou seja, modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de se descrever matematicamente um fenômeno.

Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem temos a modelagem via autômatos celulares e equações diferenciais, parciais e/ou ordinárias. A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica vem sendo utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final dos anos 1700 1 . Pode-se, então, dizer que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática. 2 .

Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas eletricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados experimentais.

Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações diferenciais. Sofwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas soluções de tais modelos.

Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem

que aparece na equação. Apresentamos a seguir a forma geral de uma equação

diferencial de primeira ordem:

Também podemos escrevê-la da seguinte forma:

Equações Diferenciais ordinárias de Segunda Ordem.

Uma Equação Diferencial de Segunda Ordem tem a forma

Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Um sistema de n equações

diferenciais de primeira ordem é um conjunto de n equações diferenciais, com uma

variável independente t e n variáveis dependentes x1,x2,...,xn, que podem ser escritas da

seguinte forma

dx1 F1(x1,...,xn,x1',...,xn',t)

=

dt

dx2 F2(x1,...,xn,x1',...,xn',t)

...

=

Dt

dxn Fn(x1,...,xn,x1',...,xn',t)

onde F1,F2,...,Fn são quaisquer funções de (2n + 1) variáveis reais, que definem o

sistema. Não são considerados sistemas de equações de ordem superior a 1, devido a

que se alguma das equações diferencias for de ordem superior, poderá ser escrita

como um sistema de equações de primeira ordem.

PASSO 2

Métodos de integração

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Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

Índice

[esconder]

• 1 Integração por substituição

o 1.1 Substituições trigonométricas

• 2 Integração por partes

• 3 Integração por frações parciais

Integração por substituição[editar]

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis , onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Substituições trigonométricas[editar]

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Passos para a integração:.

Passo 1: Faça uma escolha para . Ex.: .

Passo 2: Calcule .

Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral deve estar em termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para .

Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.

Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .

Exemplo Considere a integral usando a substituição , obtem-se

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser