CALCULO 3

Calculo III – Etapa I

Niterói

3°/ 2014

Grupo:

Etapa 1

Passo 1

História e Surgimento da Integral:

Juntamente com Gauss e Newton, Arquimedes cientista e matemático grego, foiconsiderado como um dos três grandes nomes da história.Começou a calcular a área pelo “método de exaustão”, consiste na inscrição de sucessão de polígonos regulares no circulo conforme aumenta os números de lados dos polígonos dentro do circulo aproxima-se cada vez mais da área exata do circulo. Esse “método de exaustão” era um procedimento muito complicado, Issac Newton e Leibniz descobriram método geral de obtenção de áreas que utilizasse a noção de limites.

Integral Indefinida:

Todo e qualquer tipo de integral serve para calcular área de um gráfico, usa se muito em gráficos de curvas onde dificulta o calculo da área. O processo de encontrar antiderivadas é denominado Antiderivação, antidiferenciação ou ainda integração.

Utilizando Métodos dos Retângulos para encontrar Áreas

Dividi-se o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais em cada um deles constrói um retângulo que se estende no eixo x até algum ponto da curva y=f(x), onde para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como aproximação da área exata sob a curva acima do intervalo [a,b]. Quando maior o numero de n, aproximasse para calculo da área exata de um limite.(figura xx).Assim,se A denota a área exata sob a curva e A,denota a aproximação de A usando n retângulos, então :A= lim An

Figura 2 – Preenchimento da Área pelo método de Retângulos

Passo 2

Desafio A

∫▒〖(a^3/3+ 3/a^(3 ) + 3/a) d a= ∫▒〖a^3/3 d a= a^4/(4 .3)= a^4/(12 )〗〗+ c= ∫▒3/a^3 d a= ∫▒〖3a d a〗^(-3) =3. a^(-2)/(-2)= (-3)/〖2a〗^2 + c= ∫▒3/a d a=3 .ln|a|+c= a^4/12- 3/〖2a〗^2 + 3 ln|a|+c

Resposta certa Letra B.

Desafio B

Custo marginal

c (q)= 1000+50q

Custo Total

c (q)= ∫▒〖1000+50 q dq=∫▒〖1000q+ 〖50q〗^2/2〗〗+ c = 1000q+25〖 q〗^2+ c

Custo fixo

fixo=c (0)= 10.000

c (0)= 1000 .0+25 .c

10.000=c

c (q)= 10.000+1000q+25q^2

Resposta certa letra A.

Desafio C

∫_2^4▒〖16,1 .e dt=16,1 e^0,07t=16,1 . e^(0,07t ) 〗 4¦2

16,1 . (e^0,07t )/0,07-(16,1 e^(0,07 .2)/0,07)

304,32-264,56=39,76

Resposta certa letra C.

Desafio D

∫_(-3)^2▒〖e^(x/2) dx=e^((x+2)/2)/((x+2)/2)〗=├ ■(2@-3)┤| e^((2+2)/2)/((2+2)/2)=3,69

e^((-3+2)/2)/((-3+2)/2)= |-1,21|=1,21

3,69+1,21=4,9 u a

Resposta certa letra A.

Passo 3

Para o Desafio A:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida, assim chegando na resposta exata.

Para o Desafio B:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 0, o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará o custo final conforme a variação da medida da perfuração.

Para o Desafio C:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (c) que direciona a associação ao número 1, usando a formula dada no desafio C estabelecemos duas soluções usando o algarismo final dos anos citados no desafio, no caso de 1992 usamos o número 2, e no caso de 1994 usamos o número 4, quando esses valores foram substituídos nas formulas gerou um resultado que ao somados mostrou a quantidade de petróleo consumida no período de 1992 a 1994.

Para o desafio D:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 9, nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição para integração, onde chegamos ao valor final desejado de 4,99.

Passo 4

A sequência dos numero que encontramos foi 3019, portanto esse resultado é quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente visando os cálculos dos quatros primeiros desafios que compõe a nossa ATPS.

Etapa 2

Passo 1

TEXTO?

Passo 2

∫▒〖( 3-t).u^4.du/(2t-6)=∫▒〖(3-t).u^4.du/(-2(-t+3))〗〗

∫▒(-(〖u)〗^4 du )/2= 〖-u〗^5/5.2+c=>(-(t^2-6〖t)〗^5+c)/10

∫_0^5▒t/√(t+4) dt= ∫_0^5▒t/〖(t+4)〗^(1/2)

u=t+4=>du=dt

dv=t =>v= t^2/2

∫▒〖udv=u .v ∫▒vdu 〗

∫_0^5▒t/(t+4)^(1/2) dt =>u^(1/2).t^2/2 ((_0^5)-∫_0^5▒t^2/2 dt=>∫_0^5▒t/(t+4)^(1/2) ┤ dt=(t+4)^(1/(2 .)) t^2/2 ((_0^5)-(1 )/2 ┤ ∫▒〖t^2 dt=> ∫_0^5▒t/(t+4)^(1/2) 〗 dt= (t+4)^2 t^2/2 |(_0^5)-1/2 | (_0^5)t^3/3=〖(5+4)〗^(1/2) . 5^2/2-1/2.5^3/3-1/2.5^3/3=(9)^(1/2).25/2-1/2 . 125/3=3.25/2-125/6=75/2-125/6=(225-125)/6=100/6=16,66

Passo 3

Justificativa do passo 2

Passo 4

Calculo relacionado acima.

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi alternativa (c) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com_____________, assim chegando na resposta exata.

Gráfico 01

y=1/x

At1= (b.h)/2=1.1/2=1/2

∫_1^2▒〖1/x dx=ln⁡〖x ((_1^2)=>ln2-ln1=0,6931-0=0,6931 u .A┤〗 〗

At2= (b.h)/2= (2.1/2)/2= 1/2

A total=0,6931+ 1/2-1/2

A total=0,6931 u.a

Gràfico 2

Y=4/x Y=X

x=4/x= x^2=4

x= ±2

A= (b.h)/2= 2.2/2=2 u.a

Y= 4/x

∫_2^4▒〖4/x dx=4 ∫▒〖1/x dx=4.ln⁡〖|x| ((_2^4)4 .(ln4-ln2)=2,77 u.a ┤〗 〗〗

At1=2,77+2=4,77 u.a

A total=4,77 x 8=38,16 u.a