CAUCULO DIFERENCIAL II

CALCULO DIFERENCIAL II - AULA O1

Nos exercícios  2, 4 e 9, represente geometricamente as curvas definidas pelas funções dadas nos intervalos indicados:

➔2.

i) equações paramétricas da curva(g) são:

x = t e y = t2 – 1 ∴ se t = x teremos:

y = x2 – 1

∴ as coordenadas de todo ponto p(x,y) da curva, satisfazem a equação    

    y = x2 – 1, com isso g está contida na parábola de concavidade voltada para cima e vértice (0 , - 1);

ii) Se t varia de -2 a 3, inclusive, a curva g é uma parte da parábola, conforme se mostra em gráfico:         [pic 1]

   y = x2 – 1[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

y	x = t[pic 8]
3	-2[pic 9]
0	-1[pic 10]
-1	0[pic 11]
0	1[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
3	2[pic 18]
8	3[pic 19]

[pic 20]

➔4. [pic 21]

i) equações paramétricas da curva(f) são:

x = 2senτ – 1                  e         y = 2 – 2cosτ 

∴ se x + 1 = 2senτ                  y - 2 = – 2cosτ

Teremos:

(x + 1)2 + (y – 2)2 = (2senτ)2 + (– 2cosτ)2

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 4sen2τ + 4cos2τ

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 4(sen2τ + cos2τ)

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 4.1 = 22

∴ as coordenadas de todo ponto p(x,y) da curva f, satisfazem a equação    

    (x + 1)2 + (y – 2)2 =  22, com isso f está contida na circunferência de centro (-1 , 2) e raio 2;

ii) Se τ varia de 0 a 2Π, inclusive, a curva f faz parte da circunferência, conforme se mostra em gráfico:         

(x + 1)2 + (y – 2)2 =  22[pic 22]

y	x	τ
0	-1	0[pic 23][pic 24]
2	1	Π/2[pic 25][pic 26][pic 27]
4	-1	Π[pic 28]
2	-3	3Π/2[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
0	-1	2Π

[pic 33][pic 34][pic 35]

[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

➔9.         

i) equações paramétricas da curva(g) são:

x = 3cosμ                  ,         y = 2senμ                  e         z = 2

∴ se 3cosμ = x/3          senμ = y/2 = – 2cost

Teremos:

(x/3)2 + (y/2)2 = (cosμ)2 + (senμ)2

(x/3)2 + (y/2)2 = 1 e z = 2

∴ a curva g é a interseção de superfície cilíndrica (x/3)2 + (y/2)2 = 1;

ii) ∴ g é a elipse no plano z = 2 do centro na origem de semi eixo focal 3, semi eixo normal 2 e focos no ponto (√5, 0) , conforme se mostra em gráfico:         

(x/3)2 + (y/2)2 = 1[pic 40][pic 41]

		[pic 42][pic 43]
		[pic 44]
		[pic 45][pic 46]

[pic 47][pic 48]

➔12. Prove que a curva definida por  [pic 49]  é uma reta.

Se x=(x,y,z), p(a1,b1,c1) e A(a,b,c);