COnceitos Básicos De Cálculo Numérico

Conceitos Básicos

Introdução

O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar esquemas numéricos (algoritmos numéricos)para resolução de problemas que podem ser representados por um modelo matemático. Um esquema é eficiente quando este apresenta soluções dentro de uma precisão desejada com custo computacional (tempo de execução + memória) baixo. Os esquemas numéricos nos fornecem aproximações para o que seria a solução exata do problema. Os erros cometidos nesta aproximação são decorrentes da discretização do problema, ou seja, passar do modelo matemático para o esquema numérico, e da forma como as máquinas representam os dados numéricos.

Conceitos básicos, que irão facilitar a compreensão dos métodos numéricos apresentados. A álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica é tão grande, que estudo pormenorizado dessesassuntos cada vez mais se justifica. O primeiro é o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro é o conjuntodas matrizes reais m × n.A primeira vista pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum. Mas não é bem assim conforme mostraremos a seguir. No conjunto dos vetores está definida uma adição dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto. Além disso, podemos multiplicar um vetor por um número real.

Erros

Na busca da solução do modelo matemático por meio do cálculo numérico, os erros surgem de várias fontes e merecem cuidado especial. Do contrário, pode-se chegar a resultados distantes do que se esperaria ou até mesmo obter outros resultados que não têm nenhuma relação com a solução do problema original.

As principais fontes de erros são as seguintes:

Erros nos dados de entrada;

Erros no estabelecimento do modelo matemático;

Erros de arredondamentos durante a computação;

Erros de truncamentos, e

Erros humanos e de máquinas.

Conversão de Base: Aritmética de Ponto Flutuante

Com o objetivo de fornecer uma ideia do que ocorre no processo de mudança de base de um número, apresenta-se a seguir, a conversão do sistema decimal para o binário e vice-versa, para depois abordar o sistema da aritmética do ponto flutuante que as máquinas utilizam para representar os números.

Erro de Truncamento

Surge cada vez mais que se substitui um procedimento matemático infinito por um processo finito ou discreto.Um exemplo de erro de truncamento é o da aproximação de uma função pela série de Taylor.

Erro Absoluto e Erro Relativo

Erro absoluto: Diferença entre a valor exato de um número x e o seu valor aproximado x’.

EAx = x – x’

Erro relativo:

Como dependendo das grandezas envolvidas o erro absoluto pode não ser muito significativo, portanto