Calculo 1

ARACAJU – SE, SETEMBRO DE 2014

1. INTRODUÇÃO

As cônicas são as curvas geradas ou encontradas, na intersecção de um plano que atravessa um cone.

Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:

- Elipse, que é a cónica definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone;

- Parábola, que é a cónica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone;

- Hipérbole, que é a cónica definida na interseção de um plano penetra num cone em paralelo ao seu eixo.

2. OBJETIVO

Esse trabalho tem por objetivo dar a definição de cônicas, mostrar os três tipos de cortes obtidos, exemplificando cada uma e demostrar uma aplicação na engenharia de uma delas.

3. REVISÃO LITERATURA

- ELIPSE

A intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semi-eixo maior ( ) e semi-eixo menor ( ).

Imagem 1: Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.

- HIPÉRBOLE

Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.1

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma:

IMAGEM 2: Hipérbole com seção cônica

- PARABÓLA

É uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). É uma curva plana.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares. Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de uma cardioide.

Uma parábola possui um eixo único de simetria reflexiva, o qual passa através de seu foco e é perpendicular à diretriz. O ponto de interseção deste eixo com a parábola é chamado de vértice. Se girarmos uma