Calculo 22

1-se x for 2 cm, a caixa vai ter 4 x 2 x 9. a quantidade de material será de 126 cm^2

2-se x for 3 cm, a caixa vai ter 6 x 3 x 4, a quantidade de material será de 108 cm^2

Deseja-se construir pequenas caixas de papelão, com tampa, para embalagens como a da figura 1.

A base da caixa é um retângulo de lados medindo 2x e x e a altura da caixa mede h.

O volume da caixa é de 72 cm3 e a caixa deverá ser construída de maneira a minimizar a quantidade de material.

Volume:

2x*x*h = 72

2x²*h = 72

h = 72/2x²

h = 36/x²

Área Total:

2(2x*x) + 2(x*h) + 2(2x*h)

2(2x²) + 2xh + 4xh

4x² + 6xh

x(4x + 6h)

h = 36/x²

x(4x + (6*36)/x²)

x({4x*x² + 6*36}/x²)

(4x*x² + 6*36)/x

---4x² + (6*36)/x------

Agora, só tacar valores para x.

x = 1, área total = 240cm²

x = 2, área total = 124cm²

x = 3, área total = 108cm²

x = 4, área total = 118cm²

Logo, x = 3, tendo em vista minimizar a quantidade de material. Então, sua altura será:

h = 36/x²

h = 36/3²

h = 36/9

h = 4

Segunda maneira:

Volume da caixa 2x.x.h=72cm3

2x2.h=72

h=72/2x2

h=36/x2

Isso significa que: Material dos lados da caixa 6.x.h Substituindo o valor de h na fórmula temos:

6.x.(36/x2) 216.x/x2, cortando x de x2

temos: 216/x

Obtemos assim a fórmula para a quantidade total de papel (M), usado na caixa: M=4.x2+(216/x)

O domínio dessa função é o conjunto de todos os x>0. Vamos agora usar o cálculo para encontrar o mínimo de M e os pontos críticos.

Obtemos o valor de x, agora calculando o h substituindo-o na fórmula do cálculo de volume da caixa: