Calculo

RESUMO

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x

y = 3 x + 4

y = 0,5 x

y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada por meio de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

FIGURA 1:

Fonte:< http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcao-graficos-exponencial.html>

SUMÁRIO

1. Introdução........................................................................................................ 5

2. Objetivo........................................................................................................... 6

3. Desenvolvimento............................................................................................. 7

3.1 Surgimento................................................................................................. 7

3.2 Relembrando as propriedades.................................................................... 8

3.3 Definição.................................................................................................... 9

3.4 Lei de formação.......................................................................................... 9

3.5 Propriedades................................................................................................ 9

3.6 Primeira Situação......................................................................................... 10

3.7 Domínio e Imagem..................................................................................... 13

3.8 Segunda Situação........................................................................................13

3.9 Domínio e Imagem..................................................................................... 16

3.10 Aplicação da função exponencial na engenharia.................................. 16

3.11 A constante e de Euller......................................................................... 16

4. Exercícios......................................................................................................... 17

5. Conclusão......................................................................................................... 25

6. Gabarito.............................................................................................................26

7. Referências....................................................................................................... 48

1. INTRODUÇÃO

Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. A pessoa que apresentasse o melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233*1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido! A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2 x. As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.

2. OBJETIVO

O presente trabalho tem como objetivo apresentar as funções exponenciais, e algumas de suas aplicações, como: na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

3. DESENVOLVIMENTO

3.1 Surgimento:

John Napier nasceu em 1550, no castelo Merchiston, próximo a Edimburgo na Escócia. Estudou religião na infância e na fase adulta demonstrou muito interesse no ativismo religioso. Era protestante e mantinha posição radicalmente oposta ao papado. Em um de seus livros