Calculo Numérico

Introdução

Provavelmente o curso de álgebra linear é o curso, dentro das disciplinas da matemática, de maior importância para estudantes e profissionais de diversas áreas fora da própria matemática. Ele é essencial nas engenharias e, particularmente, na ciência da computação. Por outro lado, para alunos de matemática, ele significa a primeira grande incursão no terreno da abstração, onde conceitos bastante concretos, válidos para os vetores de três dimensões, são aplicados em outros espaços de dimensões arbitrárias e de natureza diversa e muitas vezes surpreendente.

O campo de aplicação da disciplina é muito vasto. A computação gráfica, por exemplo, a manipulação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração de cores são operações lineares. Por outro lado, evidentemente nem todos os processos da natureza podem ser descritos por meio de sistemas ou equações lineares. No entanto muitos sistemas e aplicações importantes são lineares, o que por si já justificaria seu estudo. Além disto, a matemática envolvida na solução de sistemas não lineares é complicada e ainda está sendo desenvolvida na atualidade. Por isto sua solução passa muitas vezes pela solução de um sistema linear que melhor representa o sistema em estudo. A partir das soluções aproximadas existem métodos para se obter soluções mais próximas do sistema real.

ETAPA 1

Passo1

Vetores¹

Quando trabalhamos com grandezas vetoriais, utilizamos a álgebra vetorial, que opera com um ente matemático denominado vetor. Para o que nos interessa, podemos conceituar vetor como o ente matemático que representa o conjunto dos segmentos orientados de reta que têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

Representação de vetores

Representa-se o vetor por um segmento de reta orientado de reta com origem em A e extremidade em B. O comprimento desse segmento representa o módulo do vetor em uma escala de representação gráfica. Se o vetor estiver representando uma grandeza vetorial, podemos usar a notação (em que se usa a letra que representa a grandeza com uma seta em cima, sendo a seta sempre horizontal e para a direita). Veja a figura acima.

As características gerais que definem um vetor são:

- intensidade

- direção

- sentido

A definição da intensidade ou módulo de um vetor é a medida que obtemos quando comparamos um vetor com outro de mesma espécie, considerado como unidade. Por exemplo: o módulo da velocidade de um carro em certo instante é de 50 km/h, se o vetor velocidade adotado como unitário estiver contido 50 vezes no vetor considerado.

Define-se direção de um vetor como sendo a reta suporte do segmento orientado que o representa. Para saber a direção de um vetor, basta saber a direção de sua reta suporte.

O sentido de um vetor é para onde aponta sua extremidade.

Alguns vetores particulares

Dizemos que dois vetores ou mais são iguais ou equipolentes se seus módulos também forem iguais, se suas direções forem iguais e se possuírem o mesmo sentido. Veja abaixo a representação de vetores iguais:

Porém, quando pelo menos uma das características citadas anteriormente é diferente, dizemos que os vetores são diferentes. Chamamos de vetor oposto de um vetor B o vetor –B, que possui o mesmo módulo, mesma direção, porém seu sentido é oposto ao de B.

Calculo com Vetores²

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da Soma de vetores

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Dependência e independência linear³

Por meio dessa definição é possível ver que nem todos os vetores de um conjunto necessitam ser conhecidos, uma vez que podem ser obtidos por meio de combinações lineares de outros. Assim, saber se um ou mais vetores de um conjunto podem ou não ser obtidos por meio de combinações lineares é um dos aspectos mais importantes da álgebra linear. Assim:

 Um conjunto S de vetores de um espaço vetorial V é dito ser um conjunto linearmente dependente (LD) se pelo menos um vetor de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.

 Um conjunto com um vetor é LD se, e somente se, for o conjunto {0→}.

 O conjunto S será denominado linearmente