Conceitos Básicos

Conceitos Básicos

1.1

Introdu¸ c˜ao

Pretendemos neste cap´ıtulo relembrar alguns conceitos básicos, que ir˜ao facilitar a compreens˜ao dos

métodos numéricos apresentados nos próximos cap´ıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados s˜ao

de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria

dos espa¸cos vetoriais, em particular, na análise numérica é t˜ao grande, que estudo pormenorizado desses

assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser

encontrados em livros de álgebra linear.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente já s˜ao conhecidos do leitor. O primeiro é

o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro é o conjunto

das matrizes reais m × n.

À primeira vista pode parecer que tais conjuntos n˜ao possuem nada em comum. Mas n˜ao é bem assim

conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores está definida uma adi¸c˜ao dotada das propriedades comutativa, associativa,

além da existˆencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Além disso, podemos multiplicar um vetor por um número real. Essa multiplica¸c˜ao tem as seguintes

propriedades (já certamente vista por vocˆe no seu curso):

α(u + v)

=

αu + αv ,

(α + β)u

=

αu + βu ,

(αβ)u

=

(αβu) ,

1 · u

=

u ,

onde u, v s˜ao vetores e α, β s˜ao escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes também está definida uma adi¸c˜ao dotada também das propriedades associ-

ativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto à adi¸c˜ao é o mesmo.

Mas n˜ao param por a´ı as coincidˆencias.

Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real. Essa multiplica¸c˜ao apresenta as mesmas

propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

α(A + B)

=

αA + αB ,

(α + β)A

=

αA + βA ,

(αβ)A

=

(αβA) ,

1 · A

=

A ,

1

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

2

onde A, B s˜ao matrizes e α, β s˜ao escalares quaisquer.

Logo o conjunto dos vetores e o das matrizes apresentam uma certa coincidˆencia estrutural no que

se refere a um par importante de opera¸c˜oes definidas sobre eles. Nada ent˜ao mais lógico que estudar

simultaneamente o conjunto dos vetores, das matrizes e todos os conjuntos que apresentem a mesma

estrutura acima apontada.

1.2

Espa¸co Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma opera¸c˜ao de

adi¸c˜ao:

(x,y) ∈ E × E → x + y ∈ E ,

e que esteja definida uma opera¸c˜ao entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplica¸c˜ao

por escalar):

(α,x) ∈ K × E → αx ∈ E .

Ent˜ao E é um K-espa¸co vetorial, em rela¸c˜ao a essas opera¸c˜oes, se as seguintes condi¸c˜oes estiverem

satisfeitas:

A1)

(x + y) + z = x + (y + z), ∀x,y,z ∈ E ,

A2)

x + y = y + x, ∀x,y ∈ E ,

A3)

∃ 0(zero) ∈ E / x + 0 = x, ∀x ∈ E ,

A4)

∀x ∈ E, ∃ − x ∈ E / x + (−x) = 0 ,

M1)

α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x,y ∈ E ,

M2)

(α + β)x = αx + βx, ∀α,β ∈ K, ∀x,y ∈ E ,

M3)

(αβ)x = (αβx), ∀ α,β ∈ K, ∀x ∈ E ,

M4)

1 · x = x, ∀ x ∈ E .

O leitor deverá lembrar-se sempre de que, na defini¸c˜ao acima, n˜ao se especifica nem a natureza dos

vetores nem das opera¸c˜oes. Assim qualquer conjunto que satisfa¸ca as oito condi¸c˜oes acima especificada

será um espa¸co vetorial.

Defini¸c˜ao 1.1 - Seja E um K-espa¸co vetorial. Os vetores v1,v2,...,vk∈ E s˜ao linearmente depen-

dentes sobre K, se existem escalares α1,α2,...,αk∈ K, nem todos nulos, tais que:

α1v1 + α2v2 + ... + αkvk = 0 .

Observamos que essa rela¸c˜ao é sempre válida se os αi, i = 1,2,...,k s˜ao todos iguais a zero. Nesse

caso dizemos que os vetores s˜ao linearmente independentes.

Defini¸c˜ao 1.2 - Um K-espa¸co vetorial tem dimens˜ao n se:

a) existem n vetores linearmente independentes;

b) (n + 1) vetores s˜ao sempre linearmente dependentes.

Defini¸c˜ao 1.3 - Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é chamado base de um

K-espa¸co vetorial de dimens˜ao n.

Assim, qualquer vetor do espa¸co pode ser representado como combina¸c˜ao linear dos vetores da base.

Mudan¸ca de Base

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

3

Estudaremos inicialmente mudan¸ca de base em um espa¸co vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um

espa¸co de dimens˜ao n.

a) Seja E = IR2. Sejam B1= {e1,e2} uma base de E e v ∈ E, como mostrados na Figura 1.1.

a22

v2

a21

v0

2

e2

v

v0

1

e0

1

a11

v1

e1

a12

e0

2

K

*

?

6

6

-

-

Figura 1.1

Ent˜ao v se exprime de maneira única como combina¸c˜ao linear dos elementos de B1, isto é, existem

escalares v1,v2(elementos de K) tais que:

v = v1e1 + v2e2,

(1.1)

(onde os escalares v1,v2s˜ao as coordenadas de v na base B1).

Seja B0

1= {e0

1,e0

2}, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos

escrever:

v = v0

1e0

1+ v0

2e0

2.

(1.2)

Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B1 (aqui denominada base antiga),

poderemos determinar as coordenadas de v na base B0

1(aqui denominada base nova). Sendo e0

1,e0

2

elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combina¸c˜ao linear dos elementos

da base B1. Assim:

e0

1

=

a11e1 + a21e2,

e0

2

=

a12e1 + a22e2.

(1.3)

isto é, cada vetor da base nova se exprime de maneira única como combina¸c˜ao linear dos vetores da base

antiga.

Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:

v

=

v1e1 + v2e2 = v0

1e0

1+ v0

2e0

2

=

v0

1(a11e1 + a21e2) + v0

2(a12e1 + a22e2)

=

(v0

1a11 + v0

2a12) e1 + (v0

1a21 + v0

2a22) e2.

Como as coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao a uma determinada base s˜ao únicas, podemos igualar

os coeficientes. Assim, obtemos o sistema linear:

?

v1 = v0

1a11 + v0

2a12

v2 = v0

1a21 + v0

2a22

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

4

ou na forma matricial:

?

v1

v2

?

=

?

a11

a12

a21

a22

? ?

v0

1

v0

2

?

,

(1.4)

ou ainda:

v = A v0.

(1.5)

O sistema (1.4), possui sempre uma e uma só solu¸c˜ao v0

1,v0

2, pelo fato de B1e B0

1serem bases de E.

Ent˜ao, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1,v2de v e as coordenadas de cada um dos vetores

e0

1,e0

2, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v0

1,v0

2de v na base nova usando (1.4).

Sendo A n˜ao singular, (det(A) 6= 0), existe a inversa A−1de A. Assim, pré-multiplicando (1.5) por

A−1, obtemos:

v0= A−1v .

(1.6)

A equa¸c˜ao matricial (1.6) mostra como calcular as coordenadas de v na base antiga quando conhecidas

as coordenadas de v na base nova.

Exemplo 1.1 - Seja v = (2,4)tna base {(1,2)t,(2,3)t}. Calcular as coordenadas de v na base {(1,3)t,(1,4)t}.

Solu¸c˜ao: De (1.3), temos:

(1,3)t

=

a11(1,2)t+ a21(2,3)t,

(1,4)t

=

a12(1,2)t+ a22(2,3)t.

Da primeira equa¸c˜ao, obtemos o sistema:

?

a11 + 2 a21 = 1

2 a11 + 3 a21 = 3

cuja solu¸c˜ao é: a11= 3, a21= −1. De maneira análoga, da segunda equa¸c˜ao, obtemos:

?

a12 + 2 a22 = 1

2 a12 + 3 a22 = 4

cuja solu¸c˜ao é: a12= 5, a22= −2. Substituindo os valores conhecidos em (1.4), segue que:

?

2

4

?

=

?

3

5

−1

−2

? ?

v0

1

v0

2

?

.

cuja solu¸c˜ao é: v0

1= 24, v0

2= −14. Assim, v = (24,−14)tna base {(1,3)t,(1,4)t}.

Veremos agora, mudan¸ca de base em um K-espa¸co vetorial E de dimens˜ao n.

b) Seja E = IRn. Sejam {e1,e2,...,en}, {e0

1,e0

2,...,e0

n} bases de E e v ∈ E. Ent˜ao, podemos

escrever:

v =

n

X

i=1

viei =

n

X

j=1

v0

je0

j.

Mas e0

1,e0

2,...,e0

ns˜ao elementos de E, e portanto podem ser expressos em rela¸c˜ao a base {e1,e2,...,en}.

Logo:

e0

j=

n

X

i=1

aijei

,

j = 1,2,...,n .

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

5

Ent˜ao temos:

v

=

n

X

i=1

viei =

n

X

j=1

v0

je0

j

=

n

X

j=1

v0

j

n

X

i=1

aijei

!

=

n

X

i=1





n

X

j=1

aijv0

j



ei, ⇒ vi =

n

X

j=1

aijv0

j.

Assim, na forma matricial, podemos escrever:







v1

v2

...

vn







=







a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

...

...

...

an1

an2

...

ann













v0

1

v0

2

...

v0

n





.

ou

v = A v0

e

v0= A−1v .

Exerc´ıcios

1.1 - Seja v = (2, 3, 4)tna base canˆonica, isto é, na base:

{(1, 0, 0)t, (0, 1, 0)t, (0, 0, 1)t} .

Calcular as coordenadas de v na base:

{(1, 1, 1)t, (1, 1, 0)t, (1, 0, 0)t} .

1.2 - Seja v = 3 b1+ 4 b2+ 2 b3, onde:

b1= (1, 1, 0)t, b2= (−1, 1, 0)t, b3= (0, 1, 1)t.

Calcular as coordenadas de v na base:

f1= (1, 1, 1)t, f2= (1, 1, 0)t, f3= (1, 0, 0)t.

1.3 - Seja Kn(x) = {Pr(x) / r ≤ n} o espa¸co vetorial de todos os polinˆomios de grau ≤ n. A base

canˆonica para o espa¸co dos polinˆomios é {1, x, x2, ...}. Seja P3 = 3 + 4 x2+ 2 x3

e

B1 =

{5, x − 1, x2− 5 x + 3, x3− 4} uma outra base. Calcular as coordenadas de P3em rela¸c˜ao à base B1.

1.4 - Sejam B1 = {5, x − 1, x2− 3 x} e B2 = {8, 3 x + 2,5 x2− 3 x} bases de K2(x). Seja

P2(x) = 8{5} + 4{x − 1} + 3{x2− 3x}. Calcular as coordenadas de P2(x) em rela¸c˜ao à base B2.

1.5 - Dado o polinˆomio P3(x) = 20 x3+ 8 x2− 14 x + 28 exprim´ı-lo como combina¸c˜ao linear dos

polinˆomios da sequˆencia:

Q3(x) = 5 x3− 7 x + 12,

Q2(x) = −4 x2+ 8 x,

Q1(x) = 6 x − 1,

Q0(x) = 5.

Espa¸co Vetorial Euclidiano

Vamos definir aqui importantes no¸c˜oes de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir,

entre outras coisas o conceito de comprimento e distˆancia.

Produto Escalar

Seja E um espa¸co vetorial real. Sejam x,y elementos de E.

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

6

Defini¸c˜ao 1.4 - Chama-se produto escalar (ou produto interno) de x por y, em s´ımbolo, (x,y),

qualquer fun¸c˜ao definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:

P1)

(x,y) = (y,x), ∀x,y ∈ E ,

P2)

(x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀x,y,z ∈ E ,

P3)

(λx,y) = λ(x,y), ∀λ ∈ IR, ∀x,y ∈ E ,

P4)

(x,x) ≥ 0 e (x,x) = 0 se e somente se x = θ(nulo).

Um espa¸co vetorial real E, onde está definido um produto escalar é chamado espa¸co euclidiano real.

Daremos a seguir alguns exemplos de produto escalar.

Exemplo 1.2 - Seja E = IR2. Sejam x = (x1,x2)t; y = (y1,y2)t. Mostrar que, definindo:

(x,y) = x1y1 + x2y2.

(1.7)

o IR2torna-se um espa¸co euclidiano real.

Solu¸c˜ao: Devemos mostrar que as condi¸c˜oes P1,P2,P3 e P4 est˜ao satisfeitas, isto é, que (1.7) é um

produto escalar bem definido no IR2. De fato:

P1)

(x,y)

= x1y1+ x2y2= y1x1+ y2x2= (y,x).

P2)

(x + y,z)

= (x1+ y1)z1+ (x2+ y2)z2= x1z1+ y1z1+ x2z2+ y2z2

= (x1z1+ x2z2) + (y1z1+ y2z2) = (x,z) + (y,z).

P3)

(λ x,y)

= λx1y1+ λx2y2= λ(x1y1+ x2y2) = λ(x,y).

P4)

(x,x)

= x2

1+ x2

2≥ 0

(evidente).

(x,x)

= x2

1+ x2

2= 0 ⇔ x2

i= 0 ⇔ xi = 0,∀i ⇔ x = θ.

Logo, (1.7) é uma boa defini¸c˜ao de produto escalar.

Nos próximos exemplos, a verifica¸c˜ao de que as condi¸c˜oes P1,P2,P3 e P4s˜ao satisfeitas, fica como

exerc´ıcio.

Exemplo 1.3 - Seja E = IRn. Para x,y ∈ E, isto é, x = (x1, x2, ..., xn)t, e y = (y1, y2, ..., yn)t,

definimos:

(x,y) =

n

X

i=1

xiyi,

(1.8)

como um produto escalar no IRn. (1.8) é chamado de produto escalar usual no IRn. Também,

(x,y) =

n

X

i=1

wixiyi,

(1.9)

com wifixados e positivos, define no IRnum produto escalar.

Assim, tanto (1.8) como (1.9) transformam o IRnnum espa¸co euclidiano real.

Exemplo 1.4 - Seja E = C[a,b] o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas reais definidas sobre o intervalo

limitado fechado [a,b]. Se para f,g ∈ C[a,b] definimos:

(f,g) =

Zb

a

f(x) g(x)dx,

(1.10)

tal espa¸co torna-se um espa¸co euclidiano real. (1.10) é chamado de produto escalar usual em C[a,b].

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

7

Em particular, se f(x) = Pk(x) e g(x) = Pj(x), com k, j

≤ n, s˜ao polinˆomios de grau ≤ n, a

equa¸c˜ao (1.10) define um produto escalar em Kn= {Pr(x) / r ≤ n}, (espa¸co vetorial dos polinˆomios de

grau ≤ n).

Exemplo 1.5 - Seja E = Kn(x) = {Pr(x) / r ≤ n}. Sejam a ≤ x0< x1< ... < xm≤ b, m + 1 pontos

distintos, com m ≥ n. Definimos:

(Pi(x),Pj(x)) =

m

X

k=0

Pi(xk)Pj(xk).

(1.11)

como um produto escalar Kn.

Esse último exemplo mostra uma outra maneira de se transformar Kn(x) num espa¸co euclidiano real,

maneira esta que será útil em problemas de aproxima¸c˜ao de fun¸c˜oes pelo método dos m´ınimos quadrados,

no caso discreto.

Ortogonalidade

Seja E um espa¸co euclidiano real. Sejam x,y elementos de E.

Defini¸c˜ao 1.5 - Dizemos que x é ortogonal a y, em s´ımbolo, x ⊥ y, se e somente se (x,y) = 0.

Observe que (x,θ) = (θ,x) = 0 qualquer que seja x, onde θ é o vetor nulo.

Exemplo 1.6 - No espa¸co E = C[−π,π], com (f,g) =Rπ

−πf(x) g(x) dx, verificar se sen x e cos x s˜ao

ortogonais.

Solu¸c˜ao: Temos:

(sen x,cos x) =

Zπ

−π

sen x cos x dx =

sen2x

2

?π

−π

= 0 .

Assim, sen x e cos x s˜ao ortogonais em E.

Exemplo 1.7 - Em E = IR3, com o produto escalar usual, verificar se os vetores: f1=

?

1

√3,

1

√3,

1

√3

?t

e f2=

?

1

√2, −1

√2, 0

?t

s˜ao ortogonais.

Solu¸c˜ao: Temos:

(f1,f2)

=

1

√3×

1

√2

+

1

√3

×

?

−1

√2

?

+

1

√3

× 0

=

1

√6

−

1

√6

+ 0 = 0.

Logo, f1e f2s˜ao ortogonais em E.

Teorema 1.1 - Os vetores v1,v2,...,vmtais que:

a)

vi 6= θ, i = 1,2,...,m ;

b)

(vi,vj) = 0, para i 6= j;

s˜ao sempre linearmente independentes.

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS

8

Dito de outro modo:os vetores n˜ao nulos v1,v2,...,vm, dois a dois ortogonais, s˜ao sempre linearmente

independentes.

Prova: Devemos provar que:

α1v1 + α2v2 + ... + αmvm = 0

(1.12)

⇒ α1 = α2 = ... = αm = 0.

Em virtude de (1.12) podemos escrever, sucessivamente, para cada i = 1,2,...,m:

(vi, α1v1 + α2v2 + ... + αivi + ... + αmvm) = (vi,0) = 0,

ou seja:

α1(vi,v1) + α2(viv2) + ... + αi(vi,vi) + ... + αm(vi,vm) = 0.

onde aplicamos P2e P3. Mas (vi,vj) = 0 , i 6= j. Da´ı, a igualdade acima se reduz a:

αi(vi,vi) = 0.

Mas sendo vi 6= θ, temos, usando P4, que (vi,vi) 6= 0, para i = 1,2,...,m. Portanto, da última

igualdade conclu´ımos que,

αi = 0, i = 1,2,...,m.

Logo, os vetores v1,v2,...,vms˜ao linearmente independentes.

Defini¸c˜ao 1.6 - Seja E um espa¸co euclidiano de dimens˜ao n. Se f1,f2,...,fns˜ao dois a dois ortogonais,

ou seja, se (fi,fj) = 0, i 6= j, eles constituem uma base de E, que será chamada de base ortogonal.

Teorema 1.2 - A condi¸c˜ao necessária e suficiente para que um vetor v ∈ E seja ortogonal a um sub-

espa¸ co E0⊂ E é que v seja ortogonal a cada vetor e1,e2,...,ende uma base de E0.

Prova:

A condi¸c˜ao é evidentemente necessária. Provemos a suficiˆencia. Seja x um vetor qualquer de

E0. Temos ent˜ao:

x = α1e1 + α2e2 + ... + αnen,

desde que e1,e2,...,ené uma base de E0. Devemos mostrar que v ⊥ x. Assim:

(v,x)

=

(v, α1e1 + α2e2 + ... + αnen)

=

α1(v,e1) + α2(v,e2) + ... + αn(v,en) = 0,

desde que por hipótese, v ⊥ {e1,e2,...,en}. Logo v é ortogonal a E0.

Teorema 1.3 - Num espa¸co euclidiano real E quaisquer que sejam x,y ∈ E, temos:

(x,y)2≤ (x,x) (y,y),

(1.13)

com igualdade válida se e somente se x e y s˜ao linearmente dependentes.

A desigualdade (1.13) é chamada desigualdade de Schwarz.

Prova: Tomemos o vetor v = x + λ y, onde λ é um número real qualquer. De P4, resulta:

(x + λ y,x + λ y) ≥ 0 ,

e usando P2e P3, obtemos:

λ2(y,y) + 2λ(x,y) + (x,x) ≥ 0 .