Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos

Questão 01

Homomorfismo:

É uma função entre dois grupos que preserva as operações binárias.

Sejam ( G , ✲ ) e ( H , o ) grupos e f uma função de domínio G e contra-domínio H. Então f é um homomorfismo de grupos se e somente se:

∀x,y∈G , f (x ✲ y) = f (x) o f (y)

Ex:

Se G = H = ( Z , + ) então f: G ➝ H, f (x) = 2x é um homomorfismo de grupos porque

F ( x + y ) = 2 ( x + y ) = 2 ( x ) + 2 ( y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x,y∈G

Endomorfismo:

É um homomorfismo em que o domínio é igual ao contra-domínio, ou seja f: G ➝ G .

Ex:

        Seja n∈Z. Um endomorfismo f: ( Z , + ) ➝ ( Z , + ) é dado por f ( m ) = nm.

Monomorfismo:

Em um homomorfismo f: ( G , ✲ ) ➝ ( H , ㅿ ), se a aplicação f for injetora, então f é dito monomorfismo.

Ex:

        Um monomorfismo f: ( R , + ) ➝ ( R \ {0} , • ) é dado por f ( x ) = 2x .

Isomorfismo:

É um homomorfismo de G em H que também é uma função bijetora. Se existir um isomorfismo de G em H então dizemos que G e H são isomorfos e denotamos isso por G ≃ H .

Ex:

        A função f ( x ) = log( x ) é um isomorfismo de G = ( R* + ,  •  ) em H = ( R , + ) porque:

1. f: R* + ➝  R, f ( x ) = log( x ) é bijetora.
   
2. Para quaisquer x,y∈R* +  temos:
      f ( x • y ) = log( x • y ) = log( x ) + log( y ) = f ( x ) + f ( y ).
   

Questão 2

Um conjunto G com uma operação binária Φ é um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:

1. A operação é associativa: ab(c) = a(bc)        ∀a,b,c∈G
   
2. Existe um elemento identidade: ∃e∈G tal que ea = ae = a        ∀a,∈G
   
3. Todo elemento possui um elemento inverso: ∀a∈G, ∃b∈G tal que ab = ba = e

Fazendo G = Mnxn(R), onde Mnxn(R) é o espaço de todas as matrizes nxn com coeficientes reais, munido da operação de multiplicação temos que G não

é um grupo sobre a multiplicação, pois nem toda matriz possui inversa e dessa maneira G não pode ser isomorfo a algum grupo.

Ex:

[pic 1]

a  =

det( a ) = 0, logo , ∄a-1 , onde a∈G.