LIMITES

Limites

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Limites

Propriedades dos Limites

1ª)

O limite da soma é a soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

________________________________________

2ª)

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

________________________________________

3ª)

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

________________________________________

4ª)

Exemplo:

________________________________________

5ª)

Exemplo:

________________________________________

6ª)

Exemplo:

________________________________________

7ª)

Exemplo:

________________________________________

8ª)

Exemplo:

Limites

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

• Se

• Se

Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

•

•

•

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

• f(x) g(x) é contínua em a;

• f(x)

...