Lei De Gauss

Universidade Federal do Paraná

Setor de Ciências Exatas

Departamento de Física

Física Geral B – Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana

Aula 5: Lei de Gauss

Karl Friedrich Gauss (* 30 Abril de 1777 em Brunswick, Duchy of Brunswick, Alemanha; + 23 Feb 1855 em Göttingen, Alemanha) foi um menino prodígio em Matemática, e tornou-se um dos maiores matemáticos da História. Sua primeira descoberta foi a possibilidade de construir, apenas com régua e compasso, um polígono regular de 17 lados, algo que passara desapercebido pelos matemáticos gregos, e pelos 2000 anos seguintes! Suas contribuições mais importantes na Matemática encontram-se na teoria dos Números e na Geometria Diferencial. Ele também fez descobertas importantes em Astronomia, para a qual desenvolveu métodos numéricos até hoje utilizados, como a quadratura Gaussiana e o método dos mínimos quadrados. Em 1831 foi nomeado professor de física na Universidade de Göttingen. Na Física, o nome de Gauss aparece associado à Teoria do Potencial (Lei de Gauss), e ao estudo do magnetismo terrestre.

Fluxo elétrico: fluxo das linhas de força que atravessam uma superfície imaginária

1º. Caso: Campo elétrico uniforme e linhas de força perpendiculares à superfície

Unidade no S.I.: [Ф]=[E][A] = N.m2/C

2º. Caso: Campo elétrico uniforme e linhas de força oblíquas à superfície

Só levamos em conta a projeção da área perpendicular às linhas de força Ap = A cos θ.

Ф = E Ap = E A cos θ

Área vetorial A: conveniente para cálculos no eletromagnetismo

(i) módulo: área da superfície plana;

(ii) direção: perpendicular à superfície;

(iii) sentido: se a superfície for aberta é arbitrário; caso a superfície seja fechada, o sentido aponta “para fora” da superfície;

como ângulos de lados perpendiculares são iguais,

Recordação: Sejam os vetores dados em termos das componentes cartesianas

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

onde i, j, k são os versores dos eixos cartesianos x,y,z, respectivamente. Sabemos que i.i = j.j = k.k = 1, e que i.j = i.k = j.k = 0, etc O produto interno entre eles é

A.B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Problema resolvido: Um cubo com 1,40 m de aresta está orientado numa região de campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através da face direita se o campo externo E for dado por (a) (6,00 N/C) i; (b) - (2,00 N/C) j; (c) - (3,00 N/C) i + (4,00 N/C) k.

Solução: A área das seis faces do cubo é A = a2 = (1,40)2 = 1,96 m2. A face direita tem área vetorial A =(1,96 m2) j.

(a) Ф = E.A = 6,00x0 + 0x1,96 + 0x0 = 0

(b) Ф = E.A = 0x0 – 2,00x1,96 + 0x0= -3,92 N.m2/C

(c) Ф = E.A = -3,00x0 + 0x1,96 + 4,00x0 = 0

Problema proposto: No problema anterior, calcule o fluxo elétrico através das outras faces do cubo nos três casos.

3º. Caso: Campo elétrico não-uniforme e linhas de força quaisquer

Nesses casos, subdividimos a superfície em elementos infinitesimais de área (“ladrilhos”), de forma que cada elemento de área seja aproximadamente plano, e tão pequeno que o campo elétrico ao longo deste seja aproximadamente uniforme. Para cada elemento de área vetorial dA podemos aplicar a fórmula válida no caso anterior, e obtemos um elemento de fluxo

O fluxo elétrico através de toda a superfície S é obtido integrando-se os elementos de fluxo

se a superfície S for fechada usamos outro símbolo para a integral

Uma integral sobre uma superfície fechada pode em muitos casos ser escrita como uma soma de integrais sobre superfícies abertas.

Exemplo: fluxo elétrico por uma superfície cúbica

Suponha que o cubo esteja colocado num sistema de coordenadas cartesianas no espaço conforme a figura. As áreas de cada face são A = a2.

Os respectivos elementos de área vetorial são

Área 1: dA = dA i, Área 2: dA = - dA i,

Área 3: dA = dA j, Área 4: dA = - dA j,

Área 5: dA = dA k, Área 6: dA = - dA k,

Propriedade importante: uma direção radial é sempre perpendicular a uma circunferência num dado ponto. Mais precisamente, a direção radial é perpendicular à tangente à circunferência no dado ponto. Por isso o elemento de área vetorial dA aponta na direção radial para um contorno circular qualquer.

Exemplo: fluxo elétrico por uma superfície cilíndrica

- Base 1 (inferior) :dA aponta para baixo (sempre para fora do cilindro)

- Base 2 (superior): dA aponta para cima. Área das bases A1 = A2 = π r2

- Lateral: dA aponta na direção radial para fora do cilindro. Área da lateral: AL = (2πr)H

O cálculo de cada integral depende de como o campo elétrico está alinhado com as superfícies do cilindro, como veremos mais adiante.

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