Matematica Financeira
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SISTEMA DE ENSINO PRESENCIAL CONECTADO
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
MANUELA SANTOS SAMPAIO
HABILIDADE DE RACIOCÍNIO NA MATEMÁTICA FINANCEIRA
SANTA LUZIA - MG
2009
MANUELA SANTOS SAMPAIO
HABILIDADE DE RACIOCÍNIO NA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Trabalho apresentado ao Curso Ciências Contábeis da UNOPAR - Universidade Norte do Paraná, para a disciplina de Matemática Financeira.
Orientadora: Professora Helenara Regina Sampaio
SANTA LUZIA - MG
2009
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
1. CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
2.1 Sistema de Amortização Americano - SAA
2.2 Sistema de Amortização Constante – SAC
2.3 Sistema de Amortização Francês – Tabela Price (SAF)
3. O COMPORTAMENTO DOS JUROS NO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE
PARTE 2 – PRÁTICA
4. CONCLUSÃO
INTRODUÇÃO
Todas as pessoas têm necessidades básicas como alimentar, vestir, receber benefícios para usufruírem de uma boa qualidade de vida, ou seja, adquirirem bens e serviços que a oferta muitas vezes é limitada. Ao longo do processo do desenvolvimento das sociedades essas necessidades eram solucionadas com o processo de troca de um bem por outro, mais tarde surgiu a moeda. Assim o preço passou a ser o indicador comum de medida para o valor de bens e a moeda um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital. Com o tempo constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e se fosse guardado o estoque de bens poderia servir para gerar novos bens ou riquezas através do processo produtivo. Surgiu então a necessidade dos cálculos para controle dos bens.
O cálculo financeiro e a análise de investimentos são atualmente ferramentas essenciais na tomada de decisões e na gestão financeira das empresas e das pessoas. A Matemática Financeira é a ferramenta para a análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo, pois consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
O desconhecimento dessa ferrramenta pode resultar em custo alto pois uma decisão errada pode traduzir em perdas financeiras significativas.
1. CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA:
MATEMÁTICA FINANCEIRA: é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
CAPITAL: é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
JUROS: é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: no regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros no período seguinte. Assim o capital crescerá de forma linear e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo.
J = C . i . n onde:
J = juros
c = capital
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Suponhamos que tome emprestada a quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10%a.a. . Qual será o valor pago como juro?
J=C.i.n
J= 1000 x 0,10 x 2
J = R$ 200, 00
JUROS COMPOSTOS: é o mais comum no dia a dia no sistema financeiro e no cálculo econômico. Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros no período seguinte, ou seja, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte – os juros são capitalizados.
J = C [(1 + i) n -1] ou M = C . (1 + i)n
onde,
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
n = número de períodos
M = montante
Exemplo: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
M = C . (1 + i)n
M = 1.000 (1 + 0,02) 10
M = 1.000 (1,02) 10
M = 1.000 x 1,2189
M = 1.218,99
Exemplo: Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juro composto de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses?
J = C [(1 + i) n -1]
J = 1.000 x [(1 + 0,02) 10 – 1]
J = 1.000 x [(1,02) 10 – 1]
J = 1.000 x [1,2189 – 1]
J = 1.000 x 0,2189
J = 218,99
TAXA DE JUROS: o juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo, tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual aquele da taxa. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
15 %a.a = ao ano
15%a.s = ao semestre
15% a.m. = ao mês
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
12% a.a. → 12 : 100 = 0,12 a.a. ou 6% a.m . → 6 : 100 = 0,06 a.m.
QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES OU JUROS COMPOSTOS?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos, pois cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo. No regime de juros simples o montante cresce linearmente, não já capitalização de juros.
Exemplo: seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20%a.a. por um período de 4 anos a juros simples e compostos:
n Juros simples Juros compostos
Juro por período Montante Juro por período Montante
1 1.000 x 0,2 = 200 1.200 1.000 x 0,2 = 200 1.200
2 1.000 x 0,2 = 200 1.400 1.200 x 0,2 = 240 1.440
3 1.000 x 0,2 = 200 1.600 1.440 x 0,2 = 288 1.728
4 1.000 x 0,2 = 200 1.800 1.728 x 0,2 = 346 2.074
TAXAS EQUIVALENTES: duas taxas são equivalentes, se considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for aplicados em diferentes formas de capitalização e produzindo o mesmo montante.
1 + ia = (1 + is)2
i a = taxa anual
i s = taxa equivalente
Exemplo: Qual a taxa anual equivalente a 6% ao semestre?
1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = ( 1 + 0,06) ²
1 + ia = (1,06) ²
1 + ia = 1,123
ia = 1,123 – 1
ia = 0,123 x 100
ia = 12,3 % a.a.
TAXAS NOMINAIS: A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo.
Exemplo: 18% ao ano capitalizada mensalmente ou 8% ao semestre capitalizada mensalmente.
M = C [ 1 + j ] k x m
k
onde,
M = montante
C = capital
j = taxa de juro nominal
k = número de vezes que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal.
Exemplo: calcular o montante resultante de um investimento de R$1.200,00 aplicados por três anos a juros nominais de 16% a.a. capitalizados mensalmente?
C= 1.200 m= 3 anos j= 16%a.a = 0,16 k= 12 M=?
M = C [ 1 + j ] k x m
k
M = 1.200 [ 1 + 0,16 ] 12 x 3
12
M = 1.200 [ 1 +0,0133] 36
M = 1.200 [ 1,0133] 36
M = 1.200 x 1,6109
M = 1.933,14
TAXAS EFETIVAS: pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada período a que se refere a taxa. Isto é a unidade de referencia de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Exemplo: 12% a.m. capitalizados mensalmente, 189% a.a. capitalizados anualmente.
i f = [1 + i ] k -1
k
onde,
i = taxa nominal
i f = taxa efetiva
k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal
Exemplo: Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva:
Resolução: 1 ano = 4 trimestres, então k=4
i f = [1 + i ] k -1
k
i f = [1 + 0,12 ] 4 -1
4
i f = [ 1 + 0,030] 4 -1
i f = [ 1,030] 4 -1
i f = 1,1255 -1
i f = 0,1255 x 100
i f = 12,55 % a.a.
FLUXO DE CAIXA: O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.
VALOR PRESENTE: é o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Para calcular o valor presente, é necessáio especificar o valor nominal, a data do cálculo e a taxa de juros a ser utilizada na operação.
VALOR FUTURO: corresponde ao valor do título na data do vencimento da aplicação, é o montante.
FV = PV (1 + i) n e PV = FV
(1+i)n
Onde,
PV = valor presente
FV = valor futuro
i = taxa de juro
n = período
Exemplo: Qual será o montante se a pessoa aplicar R% 10.000,00 a taxa de 5% a.m. daqui a 3 meses?
FV = PV (1 + i) n
FV = 10.000 (1 + 0,05) 3
FV = 10.000 (1,05) 3
FV = 10.000 x 1,157
FV = 11.576,25
2. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Amortização pode ser entendida como, um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
São características do sistema de amortização:
Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação);
Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;
Cada sistema de amortização obedece uma certa padronização, tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;
Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são pagos os juros;
Os principais sistemas de amortização são:
1) Sistema de Pagamento Único: No sistema de pagamento único, o devedor paga o Montante=Capital mais Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: M = C.(1+i)n .
2) Sistema de Pagamentos Variáveis : O devedor paga em parcelas desiguais de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros serão calculados também sobre o saldo devedor.
3) Sistema de Amortização Americano (SAA): Pagamento no final com juros calculados período a período.
4) Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5) Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos (prestações) são iguais.
6) Sistema de Amortização Misto (SAM): Foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação, também conhecido como Sistema de Amortização Crescente (Sacre). Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês e o SAC, daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo Sistema francês com os do SAC e dividir o resultado por dois. Aproximadamente até metade do período de financiamento as amortizações são maiores que as do Sistema Price, com decorrência disto a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato.
7) Sistema Alemão: O sistema Alemão consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak. P = [C.i] ÷ [1-(1-i)n]
Os três sistemas mais utilizados são: Sistema de Amortização Constante (SAC); Sistema Price ou Francês (PRICE); Sistema de Amortização Americano (SAA).
2.1 Sistema de Amortização Americano - SAA
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal em uma só parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizado e devolvidos juntamente com o principal.
Exemplo: Um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.
Sistema Americano
n Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00
2.2 Sistema de Amortização Constante – SAC
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior. Pode ser definido também como um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressões aritméticas, em que o valor da prestação é composto de uma parcela de juros uniformemente decrescente e a outra é de amortização que permanece constante. O sistema bancário utiliza esse sistema, geralmente, para empréstimos de longo prazo.
Exemplo.: Empréstimo ou financiamento: R$ 300.000,00 (Capital); Prazo: 5 meses; Taxa de juros: 4% a.m.(efetiva).
Amortização = valor do empréstimo
Número de prestações
A= PV
n
A= 300.000 A= 60.000
5
Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00
2.3 Sistema de Amortização Francês – Tabela Price (SAF)
A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Neste sistema o mutuário obriga-se a devolver o capital mais os juros em prestações iguais entre si, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comercio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, elas são decrescentes e as amortizações do capital são crescentes.
Exemplo: Empréstimo ou financiamento: R$ 300.000,00 (Capital); Prazo: 5 meses; Taxa de juros: 4% a.m. (efetiva). Usa-se a fórmula séries de pagamentos iguais com termos postecipados:
Amort1= PMT – J1 Amort1 = PMT – (PV0 x i) , que nada mais é que a fórmula da P.G.
Sistema de Amortização Francês (SAF)
n Juros Amortização do Saldo Devedor Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65
3. O COMPORTAMENTO DOS JUROS NO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE
O Sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimo. A taxa de juros é dada em termos nominais e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros, as amortizações geralmente são pagas em base mensal. Nesse sistema , o cálculo e feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Exemplo: um empréstimo de R$ 100.00,00 será pago pela Tabela Price em 10 anos prestações postecipadas. A juros efetivos de 25% a.a..
PMT = PV x FRC (i, n) PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00
Amort. = PMT – J
Amort1 = PMT – (PV0 x i) , onde:
3.007,00 x 1,25 = 3.758,75
3.758,75 x 1,25 = 4.698,44 e assim sucessivamente.
Os juros ( J) Incidem sobre o saldo devedor apurado no final de cada período imediatamente anterior:
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 X I = (PV – amort1) x i
J3 = SD2 x i = (PV – amort1 – amort2) x i
Mês Saldo Devedor Amortização do Saldo Devedor Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 96.993,00 3.007,00 25.000,00 28.007,00
2 93.234,25 3.758,75 24.248,25 28.007,00
3 88.535,81 4.698,44 23.308,56 28.007,00
4 82.662,76 5.873,05 22.133,95 28.007,00
5 75.321,46 7.341,30 20.665,69 28.007,00
6 66.144,82 9.176,64 18.830,37 28.007,00
7 54.674,03 11.470,79 16.536,20 28.007,00
8 40.335,54 14.338,49 13.668,50 28.007,00
9 22.412,42 17.923,12 10.083,88 28.007,00
10 8,52 22.403,89 5.603,10 28.007,00
Deve ser claro que o Sistema Price tem como base o critério de juros compostos.
PARTE 2 – PRÁTICA
1. Por meio dos cálculos , apresente um montante composto, considerando m investimento R$ 13.000,00 à taxa de 4% a.m. , durante 12 meses. (use as fórmulas de montante simples e do composto).
C= 13.000
i = 4% a.m. = 0,04
n = 12 meses
MONTANTE SIMPLES: MONTANTE COMPOSTO:
M = C (1 + in)
M= 13.000 (1+ 0,04 x 12)
M= 13.000 (1 + 0,48)
M = 13.000 x 1,48
M= 19.240,00 FV = PV (1 + i) n
FV = 13.000 (1 + 0,04) 12
FV = 13.000 (1,04) 12
FV = 13.000 x 1,601
FV = 20.813,00
Na HP:
13000 PV 4 i 12 n FV CHS
FV = 20.813,41
2. Um televisor está a venda numa loja de departamentos por R$ 1.550,00 à vista, um cliente oferece ao vendedor R$ 200,00 de entrada e o restante em 6 prestações iguais com a primeira vencendo 30 dias após a compra. Sendo a taxa de juros igual a 3,8% a.m. calcule e demonstre o valor de cada prestação.
PV = 1550 – 200 = 1350,00
i = 3,8% a.m. = 0,038
n = 6 meses
PMT = PV x (1 + i)n x i
(1 + i ) n – 1
PMT = 1350 x (1 + 0,038)6 x 0,038
(1 + 0,038)6 – 1
PMT = 1350 x (1,038)6 x 0,038
(1 ,038)6 – 1
PMT = 1350 x 1,2507x 0,038
1,2507 – 1
PMT = 1350 x 0,04753
0,2507
PMT = 1350 x 0,18958
PMT = 255,93
Na HP:
1350 PV 3,8 i 6 n PMT CHS
PMT = 255,85
4. CONCLUSÃO
Com o avanço no mercado financeiro brasileira, trazendo estabilidade à moeda nacional, reduzindo os índices inflacionários, houve um grande aumento na oferta de crédito, com a queda na taxa de juros aumentaram os empréstimos bancários. Como conseqüência os financiamentos fazem parte da vida da grande parte da população brasileira, mas grande parte não sabe avaliar os riscos e vantagens deste tipo de transação financeira.
O conhecimento da Matemática Financeira é importante para saber avaliar as alternativas dos investimentos, estudar uma melhor forma de poupar recursos, como calcular e analisar os investimentos , o desconhecimento das técnicas da matemática financeira pode ser prejudicial para tomada de decisões e na gestão financeira das empresas e pessoas, causando um grande prejuízo.
REFERÊNCIAS
FRANCO, Washington Matias e José Maria Gomes - Matemática Financeira, 6 ª edição – Editora Atlas – 2009
SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira, 3ª edição - Pearson Prentice Hall – 2002
SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira, 4ª edição - acessado na Biblioteca Digital da Unopar
http//: www.fadepe.com.br/restrito/.../2_adm_matem_finan/amortiza.htm <acessado em 12/10/2009>
http://www.slideshare.net/albruni/aulas-de-matematica-financeira-sistemas-de-amortizacao <acessado em 12/10/2009>
http://www.administradores.com.br/artigos/sistema_de_amortizacao/23225/ <acessado em 12/10/2009>
http//: www.somatematica.com.br/emedio/finsn.php <acessado em 12/10/2009>
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