MÉTODO DE CAIXAS

6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

Conforme foi introduzido na Seção 2.3 do Capítulo 2, o Método dos Deslocamentos

pode ser considerado como o método dual do Método das Forças. Em ambos os

métodos a solução de uma estrutura considera os três grupos de condições básicas

da Análise Estrutural: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade entre

deslocamentos e deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais.

Entretanto, o Método dos Deslocamentos resolve o problema considerando

os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na ordem inversa

do que é feito pelo Método das Forças:

1° Condições de compatibilidade;

2° Leis constitutivas dos materiais;

3° Condições de equilíbrio.

A dualidade entre os dois métodos fica clara quando se observa a metodologia utilizada

pelo Método dos Deslocamentos para analisar uma estrutura. A metodologia

de cálculo do método consiste em:

• Somar uma série de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem

as condições de compatibilidade, mas que não satisfazem as condições

de equilíbrio da estrutura original, para na superposição restabelecer as

condições de equilíbrio.

Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método das Forças

mostrada no capítulo anterior.

Cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de compatibilidade (continuidade

interna e compatibilidade com respeito aos vínculos externos da estrutura).

Entretanto, os casos básicos não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura

original pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equilíbrio.

As condições de equilíbrio da estrutura ficam restabelecidas quando se superpõem

todas as soluções básicas.

6.1. Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico

A solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista como uma superposição

de soluções cinematicamente determinadas, isto é, de configurações deformadas

conhecidas, conforme ilustra a Figura 6.1. Essa figura mostra a configuração deformada

de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas

elementares, cada uma associada a um determinado efeito que é isolado.

194 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha

D1

D2 D3

(0) (1)

(3) (4)

D4

D6

D5

D7

(2)

q

P

q

P

(5) (6) (7)

D3

D6

Figura 6.1 – Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações

deformadas elementares.

Na Figura 6.1, a configuração deformada elementar do caso (0) isola o efeito da

solicitação externa (carregamento), sendo que essa configuração deformada é tal

que os nós (extremidades das barras) da estrutura apresentam deslocamentos e

rotações nulos. A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de

engastamento perfeito da viga (barra horizontal) devida à carga uniformemente

distribuída aplicada. As demais configurações deformadas mostradas nessa figura,

dos casos (1) a (7), correspondem a imposições de deslocamentos e rotações nodais

isolados, isto é, cada caso apresenta uma configuração deformada elementar

em que somente uma componente de deslocamento ou rotação nodal tem um valor

não nulo.

A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 6.1 indica que a

configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada

pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura. Isso é possível

porque pode-se determinar a configuração deformada de uma barra a partir

dos deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento.

De fato, as Equações (4.45) e (4.46) da Seção 4.4.1 do Capítulo 4 determinam a elástica

(deslocamentos axiais e transversais) de uma barra em função dos deslocamentos

e rotações nas extremidades das barras. A elástica final da barra é obtida superpondo

o efeito da solicitação externa isolado no caso (0).

Com base nisso, a seguinte definição é feita:

Luiz Fernando Martha – Método dos Deslocamentos – 195

• Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que

estão livres, isto é, que devem