NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRÔNICA
Trabalho Universitário: NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRÔNICA. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 21/10/2014 • 3.037 Palavras (13 Páginas) • 624 Visualizações
É uma forma na qual se inclui ângulo de fase e magnitude de uma ou mais
grandezas.
Uma expressão complexa compreende uma parte real e uma parte imaginária,
conforme mostra a figura abaixo.
j é um operador que varia de 0º a 360º, em ângulos de 90º.
O ângulo de 90º é de grande importância na análise de circuitos AC.
1) + 4 indica 4 unidades a 0º
2) - 4 indica 4 unidades a 180º
3) j4 indica 4 unidades a 90º
Como j é um operador a 90º, isto significa que em 180º ele é repetido 2 vezes,
em 270º é repetido 3 vezes e assim por diante.
RESUMINDO
0º = 1
90º = + j
180º = j2 = - 1
270º = j3 = j2. j = - 1. j = - j
360º = 0º = 1
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A expressão complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real ± parte
complexa onde j é sempre escrito antes do número. Exemplo:
4 ± j2
RELAÇÃO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR
3 representa um número real ( neste caso uma resistência de
valor igual a 3);
o ângulo de 90º ou +j é usado para representar XL (4);
portanto: Z = 3 + j4
como no caso anterior, 3 representa uma resistência no valor de
3;
o ângulo de - 90º ou - j é usado para representar XC (4);
portanto: Z = 3 - j4
Podemos então representar circuitos na forma complexa retangular conforme
exemplos abaixo:
Z2 = R2 + XL2
Z = 8 + j5
Z2 = R2 + XC2
Z = 10 - j6
IT
2 = IR
2 + IC
2
IT = 1 + j3
IT
2 = IR
2 + IL
2
IT = 1 - j3
O operador j indica uma relação de fase diferente de zero entre a parte real e a
parte imaginária.
Tomemos como exemplo impedâncias:
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Se R = 0 e XC = 10 Z = 0 - j10
Se R = 10 e XC = 0 Z = 10 - j0
Se R = 0 e XL = 10 Z = 0 + j10
Se R = 10 e XL = 0 Z = 10 + j0
Vejamos alguns exemplos abaixo de circuitos mais complexos:
ZT = (9 + j6) + (3 - j2)
ZT = 12 + j4
5
1
8
1
4
1
Z
1
T j - j
= + +
ZT =
(9 5) (3 - 2)
(9 5) . (3 - 2)
j j
j j
+ +
+
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
I - ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO:
Soma-se ou subtrai-se a parte real e a parte imaginária ( j ) separadamente:
a) (9 + j5) + (3 + j2) (9 + 3) + (j5 + j2) = 12 + j7
b) (9 + j5) + (3 - j2) (9 + 3) + (j5 - j2) = 12 + j3
c) (9 + j5) + (3 - j8) (9 + 3) + (j5 - j8) = 12 - j3
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II - MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( termo j ) POR UM NÚMERO REAL
Basta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo:
a) 4 . j3 = j12 d) j12 ÷ 3 = j4 g) j3 ÷ 4 = j0,75
b) j5 . 6 = j30 e) -j30 ÷-6 = j5 h) 1,5 . j2 = j3
c) j5 . -6 = -j30 f) j30 ÷ -6 = -j5 i) 4 . j0,75 = j3
III - DIVISÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( divisão de um termo j por um termo j )
A divisão produzirá um número real ( as partes imaginárias ou os termos j se
cancelarão), conforme exemplos abaixo:
a) j12 ÷ j3 = 4 c) - j12 ÷ j3 = - 4 e) - j30 ÷ - j5 = 6
b) j30 ÷ j5 = 6 d) j30 ÷ - j6 = - 5 f) - j15 ÷ - j3 = 5
IV- MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM
NÚMERO IMAGINÁRIO ( multiplicação de um termo j por um termo
j )
Multiplica-se o número e o operador j. A multiplicação dos termos j produzirá
j2. Veja os exemplos abaixo:
a) j3 . j4 = j . j = j2 = j2(3 . 4) = -1(12) = -12
b) j3 . - j4 = j . - j = - j2(3 . 4) = -(-1)(12) = 12
V - MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Basta seguir as regras da álgebra (propriedade distributiva), conforme mostra o
exemplo abaixo:
a) (9 + j5) . (3 - j2)
= 27 + j15 - j18 - j210 observe que j2 = -1
= 27 - j3 + 10
= 37 - j3
VI - DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A divisão de um número real por um número complexo não é possível.
Consideremos a expressão:
1 2
4 - 1
j
j
+
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O numerador contém um número real, que é 4 e o denominador é formado por
um número complexo: 1 + j2, tornando impossível a operação.
Para concretizar a operação torna-se necessário racionalizá-la, bastando para
isso multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado do denominador é 1 - j2 (basta trocar o sinal).
Teremos então:
(1 2) . (1 - 2)
(4 - 1) . (1 - 2)
j j
j j
+
1 - 4
4 - 8 - 1 2
2
2
j
j j + j
=
1 4
4 - 9 - 2
+
j
=
5
2 - j9
= 0,4 - j1,8
MAGNITUDE E ÂNGULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
“REPRESENTAÇÃO POLAR E RETANGULAR DE UM NÚMERO COMPLEXO
CONVERSÕES RETANGULAR/POLAR - POLAR/RETANGULAR”
Veja a figura abaixo:
Em termos elétricos, uma impedância complexa 4 + j3 significa 4 de
resistência elétrica e 3 de reatância indutiva. Lembrar que, a impedância 4 + j3 está
escrita na forma retangular.
A impedância é o resultado de: Z = 2
L
R2 + X ou Z2 = R2 + XL
2
Z = 2 2 4 + 3 = 16 + 9 = 25 = 5
O ângulo de fase θ é o arco tangente (arctan) da relação entre XL e R.
Portanto: θ = arctan
R
XL =
4
3
= 0,75 ≅ 37º
Desta forma, a impedância complexa pode ser escrita da seguinte maneira:
4 + j3 - forma retangular
- forma polar
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Converter para a forma polar:
a) 2 + j4
= 22 + 42 = 4 + 16 = 20 = 4,47 arctan
2
4
= 2 ≅ 63º
b) 8 + j6
= 64 + 36 = 100 = 10 arctan
8
6
= 0,75 ≅ 37º
c) 4 - j4
= 16 + 16 = 32 = 5,66 arctan
4
- 4
= -1 = - 45º
Converter para a forma retangular:
a)
sen 65º = 0,906 (parte imaginária) 12 . 0,906 = 10,87
cos 65º = 0,423 (parte real) 12 . 0,423 = 5,08
Resposta: 5,08 + j10,87
b)
sen 60º = 0,866 (parte imaginária) 100 . 0,866 = 86,6
cos 60º = 0,5 (parte real) 100 . 0,5 = 50
Resposta: 50 + j86,6
c)
sen - 60º = - 0,866 (parte imaginária) 100 . - 0,866 = - 86,6
cos - 60º = 0,5 (parte real) 100 . 0,5 = 50
Resposta: 50 - j86,6
d)
sen 90º = 1 (parte imaginária) 10 . 1 = 10
cos 90º = 0 (parte real) 10 . 0 = 0
Resposta: 0 + j10
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Quando um número complexo é formado por uma parte real igual a zero,
como por exemplo: 0 + j5, a expressão na forma polar será:
Para a expressão: 0 - j5, a expressão na forma polar será:
Quando um número complexo é formado por uma parte imaginária igual a
zero, como por exemplo: 5 + j0, a expressão na forma polar será:
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA
POLAR
I - REAL x POLAR
a)
b)
II - POLAR x POLAR
Na multiplicação de números complexos (polar x polar) os ângulos são
somados algebricamente, conforme mostra os exemplos abaixo:
a)
b)
c)
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
I - POLAR ÷ REAL
a)
b)
c)
II - POLAR ÷ POLAR
Na divisão de números complexos na forma polar (polar ÷ polar) os ângulos
são subtraídos algebricamente, conforme mostra os exemplos a seguir:
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a)
b)
c)
III - REAL ÷ POLAR
a)
b)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS UTILIZANDO NÚMEROS COMPLEXOS
I - Dado o circuito abaixo:
Calcule as correntes I1, I2 e I3; as impedâncias Z1; Z2 e Z3; a corrente total (IT)
e a impedância total (ZT) nas formas retangular e polar.
Solução:
1) escrevendo cada ramo de impedância na forma retangular, temos:
Z1 = 50 - j50
Z2 = 40 + j30
Z3 = 30 + (j110 - j70) = 30 + j40
2) convertendo cada ramo de impedância na forma polar, temos:
Z1 = 502 + (-50)2 = 70,7 θ = arctan
50
- 50
= -1 = - 45º
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Z2 = 2 2 40 + 30 = 50 θ = arctan
40
30
= 0,75 = 36,87º (37º)
Z3 = 302 + 402 = 50 θ = arctan
30
40
= 1,33 = 53,15º (53º)
3) Calculando a corrente em cada ramo de impedância, ou seja, as correntes I1, I2 e I3:
I1 = Vin / Z1
1 + j1A (retangular)
I2 = Vin / Z2
1,6 - j1,2A (retangular)
I3 = Vin / Z3
1,2 - j1,6A (retangular)
4) Calculando a corrente total (forma retangular):
IT = I1 + I2 + I3 = 1 + 1,6 + 1,2 + j1 - j1,2 - j1,6
IT = 3,8 - j1,8A
convertendo para a forma polar:
IT = 3,82 + (-1,8)2 = 4,2 θ = arctan
- 3,8
1,8
= - 0,474 = - 25.4º
5) Calculando a impedância total (forma polar):
ZT = Vin / IT
Convertendo para a forma retangular:
23,8 . sen 25,4º = 23,8 . 0,429 = 10,21 (indutiva)
23,8 . cos 25,4º = 23,8 . 0,903 = 21,5 (resistiva)
ZT = 21,5 + j10,21
II - Dado o circuito a seguir:
a) calcule as tensões em cada um dos componentes;
b) desenhe o fasor do circuito para a corrente e as tensões.
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Solução:
1) Calculando a impedância total na forma retangular:
ZT = 2 + j4 + 4 - j12 6 - j8
2) Convertendo a impedância total na forma polar:
ZT = 62 + (-8)2 = 10 arctan
6
- 8
= - 1,33 = -53,13º (- 53º)
ZT =
3) Calculando a corrente total na forma polar:
IT = VT / IT
4) Calculando a tensão em cada componente:
VR1 =
VL =
VC =
VR2 =
OBS: Como o operador j representa o ângulo de 90º, na forma polar a reatância
indutiva (XL) assume o ângulo de 90º ; a reatância capacitiva XC assume o ângulo -
90º e a resistência assume o ângulo de 0º.
5) Desenhando o fasor do circuito para as tensões e a corrente, onde alguns aspectos
devem ser observados:
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a) O ângulo de 53º para VR1 e VR2 mostra que as tensões nestes dois componentes
estão em fase com a corrente.
b) A tensão nos resistores está adiantada 53º em relação a VT enquanto que a tensão
no capacitor está atrasada 37º.
c) A tensão no indutor está adiantada 143º em relação a VT (90º + 53º).
d) A relação de fase entre as tensões no capacitor e indutor é de 180º.
6) Comprovando:
OBS: a soma das tensões de cada um dos componentes deverá nos dar a
tensão aplicada na entrada.
Convertendo cada tensão para a forma polar:
VR1 = = 2,407 + j3,196V
VR2 = = - 6,389 + j4,814V
VC = = 19,167 - j14,444V
VL = = 4,812 + j6,389V
Total da VT = 19,997 + j0,045V
Convertendo a tensão 19,997 + j0,045V para a forma polar:
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VT = 19,9972 + 0,0452 = 399,882 ≅ 20
θ = arctan
19,997
0,045
= 0,00225 = 0,129º ≅ 0º
Portanto, na forma polar VT =
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1 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
EM SÉRIE: LT = L1 + L2 + L3 + L4 …
EM PARALELO:
T L
1
=
1 L
1
+
2 L
1
+
3 L
1
+
4 L
1
… (para mais de dois indutores)
ou
LT =
1 2
1 2
L L
L . L
+
(para dois indutores)
2 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
EM SÉRIE:
T C
1
=
1 C
1
+
2 C
1
+
3 C
1
+
4 C
1
… (para mais de dois capacitores)
ou
CT =
1 2
1 2
C C
C . C
+
(para dois capacitores)
EM PARALELO: CT = C1 + C2 + C3 + C4 …
3 - CIRCUITO RC EM SÉRIE
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VR = R.IT VT = 2
C
2
VR + V
VC = XC . IT
θ = arctan -
R
C
V
V
= -
R
XC
Z = 2
C
R2 + X Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
XC =
C
1
ω
, onde ω = 2π f XC =
2 C
1
π f
f = freqüência em hertz
C = capacitância em farads
Fasor representando a impedância total ( Z ) de um circuito
RC série.
A defasagem entre R e XC é de 90º.
4 - CIRCUITO RC EM PARALELO
IT = 2
C
2
R I + I
IR =
R
VT
IC =
C
T
X
V
θ = arctan
R
C
I
I
IT =
Z
VT
Z =
T
T
I
V
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5 - CIRCUITO RL EM SÉRIE
VT = 2
L
2
VR + V
VR = R . IT VL = XL . IT
θ = arctan
R
L
V
V
=
R
XL
XL = ω L , onde ω = 2π f XL = 2π f L
f = freqüência em hertz
L = indutância em henry
Fasor representando a impedância total ( Z ) de um
circuito RL série.
A defasagem entre R e XL é de 90º.
Z = 2
L
R2 + X Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
6 - CIRCUITO RL EM PARALELO
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IT = 2
L
2
IR + I Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
θ = arctan -
R
L
I
I
Z =
2
L
2
L
R X
R . X
+
Z = 2
L
2
2
L
2
X
1
R
1
X
1
R
1
+
+
7 - CIRCUITO LC EM SÉRIE
Z = 2
C
2
L X - X
XL - XC = X
XC - XL = X
logo: Z = X
Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
8 - CIRCUITO LC EM PARALELO
Z =
X (-X )
X . (-X )
L C
L C
+
- Z capacitiva
Z indutiva
IT =
2
C
2
L I + I , onde: IL =
L
T
X
V
e IC =
C
T
X
V
Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
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9 - CIRCUITO RLC EM SÉRIE
Z = 2 2 R + X
onde:
X = XL - XC ou
X = XC - XL
O fasor para o circuito acima é mostrado a seguir.
Observe que a defasagem entre as tensões do capacitor e do indutor é de 180º,
no entanto, entre estes componentes e o resistor é de 90º.
VL = XL . IT
VC = XC . IT
VR = R . IT
VT = 2
X
2
R V + V
onde:
VX = VL - VC ou
VX = VC - VL
Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
θ = arctan
R
L C
V
V - V
=
R
X
V
V
( VL > VC )
θ = arctan -
R
C L
V
V - V
= -
R
X
V
V
( VC > VL )
θ = arctan
R
X - XL C ( XL > XC ) = arctan
R
X
θ = arctan -
R
X - XC L ( XC > XL ) = -
R
X
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10 - CIRCUITO RLC EM PARALELO
IL =
L
T
X
V
IC =
C
T
X
V
IR =
R
VT
IT = 2
X
2
IR + I onde:
IX = IL - IC ou
IX = IC - IL
O fasor de um circuito RLC em paralelo é mostrado abaixo, onde prevalecem
as correntes IC , IL e IR.
θ = arctan -
R
L C
I
I - I
= -
R
X
I
I
( IL > IC )
θ = arctan
R
C L
I
I - I
=
R
X
I
I
( IC > IL )
Calculando a impedância em um circuito paralelo:
Z =
x2 y2
x . y
+
onde:
x =
X (-X )
X . (- X )
L C
L C
+
y = R
A impedância de um circuito RLC paralelo pode também ser calculada pela fórmula:
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Z = 2
C L
2
2
C L
2
X
1
-
X
1
R
1
X
1
-
X
1
R
1
+
+
Z =
T
T
I
V
IT =
Z
VT
Podemos também calcular θ com as fórmulas: θ = arctan
X
R
e θ = arccos
R
Z
11 - POTÊNCIA EM CIRCUITOS AC
Em circuitos AC existem três potências distintas: real, reativa e aparente
identificadas respectivamente pelas letras P ( W ), Q ( VAR ) e S ( VA ).
P = V . I . cosθ = VR . I = R . I2 (potência real = W)
Q = V . I . senθ ( potência reativa = VAR)
S = V . I (potência aparente = VA)
CIRCUITO INDUTIVO:
P = VI cosθ
Q = VI senθ
S = VI
cos 90º = 0
sen 90º = 1
∴Q = S (não há potência real)
CIRCUITO CAPACITIVO:
P = VI cosθ
Q = VI senθ
S = VI
cos 90º = 0
sen 90º = 1
∴Q = S (não há potência real)
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CONCLUSÃO: Em um capacitor ou indutor a potência reativa é igual a
potência aparente.
Q = S VAR = VA P =0
12 - FATOR DE POTÊNCIA
Fp =
VI
VI . cosθ
Fp =
Potência aparente
Potência real Fp =
S
P
Fp = cosθ θ = arctan
P
Q
Q = P . tanθ
Fator de potência indutivo: motores de indução, indutores, etc.
Fator de potência capacitivo: motores síncronos, banco de capacitores, etc.
Fator de potência para circuitos paralelos: Fp = arccos
T
R
I
I
Fator de potência para circuitos série: Fp = arccos
Z
R
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC INDUTIVO
Numa indutância:
a) a tensão aplicada está adiantada 90º em relação à corrente;
b) a FCEM (força contra-eletromotriz) está atrasada 90º em relação à
corrente;
c) a tensão aplicada à entrada e a FCEM estão 180º defasadas.
CONCLUSÃO: Qualquer circuito AC que contenha apenas indutância apresenta três
variáveis importantes: a) tensão aplicada; b) força contra-eletromotriz induzida e c)
corrente do circuito.
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FCEM: é a voltagem contrária originada num circuito indutivo pela passagem de uma
corrente alternada ou pulsativa.
LEI DE LENZ: uma fem (força eletromotriz) produzida pela indução tende a
estabelecer uma corrente cujo sentido opõe-se ao campo primitivo que a produziu.
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC CAPACITIVO
A corrente através do capacitor está adiantada em relação à tensão aplicada ao
capacitor de 90º.
Conforme ilustra a figura abaixo, a corrente através do capacitor está defasada
de 90º tanto em relação à tensão aplicada como em relação à contra-tensão. Portanto, a
corrente está adiantada de 90º em relação à tensão aplicada e atrasada de 90º em
relação à contra-tensão.
EFEITOS DA CONTRA-TENSÃO:
• Quando uma fonte de tensão DC é ligada nos extremos de um capacitor, a corrente
é máxima quando a tensão da fonte, senoidalmente, começa a crescer a partir do
zero, desde que as placas do capacitor estejam neutras (sem carga) e não
apresentem forças eletrostáticas opostas.
• Quando a tensão da fonte cresce, as cargas nas placas do capacitor que resultam do
fluxo de corrente, aumentam.
• À medida que a carga no capacitor aumenta, resulta numa tensão que se opõe à
tensão aplicada, resultando numa diminuição da corrente.
• Quando a tensão da fonte (tensão aplicada) atinge o valor máximo ou valor de
pico, o capacitor estará com a máxima carga e máxima tensão apresentando assim
uma oposição à tensão aplicada (cargas eletrostáticas opostas), as quais se anulam,
resultando então em uma corrente zero.
• Quando a tensão aplicada nos extremos do capacitor começa a decrescer, a carga
eletrostática nas placas do capacitor torna-se maior do que o potencial dos
terminais da fonte e o capacitor começa a descarregar-se, repetindo assim o
processo, porém no sentido inverso.
...