Raciocionio Logico
Trabalho Universitário: Raciocionio Logico. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 20/5/2014 • 9.335 Palavras (38 Páginas) • 1.418 Visualizações
Raciocínio Lógico Quantitativo
Notas de Aula
Prof.a Paula Francis Benevides
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
Conteúdo
AULA 1 .................................................................................................................................. 7
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA .................................................. 7
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES .................................................................................... 7
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: ............................................. 8
1.2.1 Proposição, declaração ......................................................................................... 8
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: ......................................................................................... 8
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL....... 9
2.1 CONSIDERAÇÒES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: .............................. 9
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: ................... 9
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: ................... 10
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: .............. 10
2.5 VERDADE E VALIDADE: .................................................................................................. 11
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: ........................ 12
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO ................................................................................ 14
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO: ................................................................................................... 14
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: .............................................. 14
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL .................................. 15
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS ....................... 15
4.1.1 Definição .............................................................................................................. 15
4.1.2 Conectivos: ........................................................................................................... 16
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: ....................................................... 16
4.2.1 Negação ............................................................................................................... 16
4.2.2 Conjunção ............................................................................................................ 17
4.2.3 Disjunção .............................................................................................................. 17
4.2.4 Disjunção Exclusiva .............................................................................................. 17
4.2.5 Condicional ........................................................................................................... 18
4.2.6 Bicondicional ........................................................................................................ 18
AULA 2 ................................................................................................................................ 22
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO ...................................................................................... 22
5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: ..................................................................... 23
5.1.1 Tautologia ............................................................................................................ 23
5.1.2 Contradição .......................................................................................................... 23
5.1.3 Contingência ........................................................................................................ 24
AULA 3 ................................................................................................................................ 25
6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA ................................................................................. 25
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E .................................................................... 25
6.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 25
6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA ................. 25
6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA .................................................... 26
6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE PROPOSIÇÕES ................................................................................................................................. 26
6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS ............................................................................................... 28
6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: ..................................................... 28
6.7.1 Propriedades: ....................................................................................................... 28
AULA 4 ................................................................................................................................ 31
7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA ............................................................................. 31
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E .................................................................... 31
7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: ..................................................................................... 31
7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: ......................................... 32
7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA:............. 33
7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: .......................................................................................... 33
7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS: .............................................................................................. 33
7.6.1 Negação conjunta: ............................................................................................... 33
7.6.2 Negação disjunta ................................................................................................. 34
AULA 5 ................................................................................................................................ 36
8. EXERCÍCIOS GERAIS ....................................................................................................... 36
AULA 6 ................................................................................................................................ 40
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES ......................................................................................... 40
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: ................................................................................. 40
9.1.1 Idempotência: ...................................................................................................... 40
9.1.2 Comutatividade:................................................................................................... 40
9.1.3 Associatividade: ................................................................................................... 40
9.1.4 Identidade: ........................................................................................................... 41
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: ................................................................................... 41
9.2.1 Idempotência: ...................................................................................................... 41
9.2.2 Comutatividade:................................................................................................... 41
9.2.3 Associatividade: ................................................................................................... 42
9.2.4 Identidade: ........................................................................................................... 42
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: ..................................................... 42
9.3.1 Distributiva: .......................................................................................................... 42
9.3.2 Absorção: ............................................................................................................. 43
9.3.3 Leis de Morgan: ................................................................................................... 43
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: ....................................................................................... 43
9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: .................................................................................... 44
10. MÉTODO DEDUTIVO ...................................................................................................... 44
10.1 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: .................................................................... 44
10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO: ...................................................................................................... 45
AULA 7 ................................................................................................................................ 51
11. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES .......................................................................... 51
11.1 DEFINIÇÃO: ................................................................................................................... 51
11.1.1 Forma Normal Conjuntiva: ................................................................................ 51
11.1.2 Forma Normal Disjuntiva: .................................................................................. 52
11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE: ........................................................................................... 52
AULA 8 ................................................................................................................................ 54
12. RACIOCÍNIO LÓGICO – TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: ................................................... 54
12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: .................................................................................. 54
12.2 ARGUMENTO: ............................................................................................................... 54
12.2.1 Validade de um Argumento: .............................................................................. 55
12.3 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO: .......................................................... 55
12.4 VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE: .................................. 56
12.5 REGRAS DE INFERÊNCIA: ............................................................................................... 56
12.6 EXEMPLO DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA: ......................................................... 57
12.6.1 Regra da adição: ................................................................................................ 57
12.6.2 Regra da simplificação: ...................................................................................... 58
12.6.3 Regra da conjunção: .......................................................................................... 58
12.6.4 Regra da absorção: ............................................................................................ 58
12.6.5 Regra Modus Ponens: ........................................................................................ 58
12.6.6 Regra Modus Tolens: ......................................................................................... 58
12.6.7 Regra do Silogismo disjuntivo: ........................................................................... 59
12.6.8 Regra do Silogismo hipotético: .......................................................................... 59
12.6.9 Regra do dilema construtivo: ............................................................................. 59
12.6.10 Regra do dilema destrutivo: ............................................................................ 59
AULA 9 ................................................................................................................................ 68
13. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA: .......................................................... 68
13.1 EXEMPLIFICAÇÃO .......................................................................................................... 68
AULA 10 ............................................................................................................................... 78
14. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS: ................................. 78
14.1 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: .......................................................................................... 78
14.2 EXEMPLIFICAÇÃO: ......................................................................................................... 79
AULA 11 ............................................................................................................................... 87
15. INCONSISTÊNCIA: .......................................................................................................... 87
16. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: .................................... 90
16.1 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL: ................................................................................. 90
16.1.1 Exemplificação: .................................................................................................. 90
16.2 DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: ......................................................................................... 91
16.2.1 Exemplificação: .................................................................................................. 92
AULA 12 ............................................................................................................................... 96
17. EXERCÍCIOS GERAIS ....................................................................................................... 96
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides
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AULA 1
Lógica Matemática
Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos:
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.
Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu?
E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de logica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na argumentação subjacente.
A logica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional.
"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Logica e a ciência do raciocínio.
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.
Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo.
Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas.
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A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico.
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:
A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.
No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso.
Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.
1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO
É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.
São exemplos de proposições:
Quatro e maior que cinco.
Ana e inteligente.
São Paulo e uma cidade da regiao sudeste.
Existe vida humana em Marte.
A lua é um satélite da Terra
Recife é capital de Pernambuco
Exemplos de não proposições:
Como vai você?
Como isso pode acontecer!
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:
A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais:
Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
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Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).
Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE:
A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, “primícias”.
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL:
Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).
Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.
São exemplos de proposições em lógica:
“A filosofia é a lógica dos contrários”
“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.
“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários”.
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No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real.
Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições compostas.
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:
Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:
p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...
As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação:
p: A matemática é atributo da lógica.
Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:
Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.
As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como:
P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn...
Considere as proposições simples:
p: A filosofia é arte
q: A dialética é ciência.
Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”.
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Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência.
Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo.
Sejam as proposições:
p: A lógica condiciona a Matemática
q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.
P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamenta o pensamento ambíguo.
Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialética fundamenta o pensamento ambíguo.
Sejam ainda proposições compostas:
S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dialética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento ambíguo.
De forma simbólica tem-se que;
P (p, q): p mas q
Q (p, q): p e/ou q
S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q
Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q).
2.5 VERDADE E VALIDADE:
(Valor lógico ou valor verdade das proposições)
Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as determinadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional.
Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido.
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Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização:
V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F .
Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-se-á as notações:
V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F
É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados.
De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio analítico.
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS:
(ou conectivos proposicionais)
Vejam os exemplos:
“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não ambos”
“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”.
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“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática”.
“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica”
Designamos as proposições simples:
p: A matemática é a juventude da lógica
q: A lógica é a maturidade da matemática
Tem-se que:
P (p, q): p e q.
Q (p, q): p ou q.
R (p, q): p ou q, e não ambos.
S (p, q): Se p, então q.
W (p, q): p se, e somente se q.
P1 (p): não p
Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas.
Tais conectivos lógicos correspondem, portanto as seguintes estruturas:
“... e... “ : ... ...
“...ou...” : ......
“....ou...., e não ambos” : .... ....
“se....,então....” : .... ....
“... se, e somente se....”: .... ....
“ não .... “: ~ ....
Logo, tem-se que:
a. P (p, q) : p q
b. Q (p, q) : p q
c. R (p, q) : p q
d. S (p, q) : p q
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e. W (p, q) : p q
f. P1 (p ) : ~ p
Observe portanto, que uma fórmula proposicional ou uma proposição simples é toda a sentença declarativa constituída de pelo menos um conectivo lógico. Salienta-se, ainda que os conectivos lógicos estabelecem seis classes de fórmulas proposicionais, podendo dar origem a fórmulas proposicionais constituídas de diversos conectivos, repetidos ou não.
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO:
Seja a fórmula proposicional P(p, q): p q ~ p q ~ p q.
Obviamente não se pode qualificar a fórmula acima segundo as seis classes de fórmulas proposicionais anteriormente definidas, uma vez que o nível de abrangência dos respectivos operadores não está definido. Assim, através da colocação de parênteses poder-se-á obter as seguintes fórmulas:
P (p, q): (p q) (~ p ((q ~p) q)
P (p, q): p (q ((~ p q) (~p q))
P (p, q): ((p q) ~ p) (q (~p q))
E outras hipóteses.
Desta forma, utiliza-se o procedimento denominado pareação ou pareamento para caracterizar o escopo de uma determinada operação de uma dada fórmula proposicional. Isto é, parear significa colocar parêntese com o objetivo de delimitar o nível de abrangência dos respectivos operadores lógicos, sendo que os níveis anteriormente considerados qualificam o que se denomina escopo de uma dada operação.
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS:
Em certas situações o procedimento de pareação torna a análise de determinadas estruturas um tanto quanto complexas, tendo em vista a demasiada concentração de parênteses. Assim, para resolver, em parte tais dificuldades convencionais se estabelecem uma ordem de precedência dos conectivos lógicos em que se torna desnecessária a pareação.
Adotar-se-á, portanto, a seguinte ordem de precedência usual.
~
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Logo:
Dada a fórmula P (p, q): p q ~ p q ~ p v q, pareando-se vem que:
P (p, q): (p q) ((~ p q) (~ p v q))
Retirar todos os parênteses desnecessários segundo a ordem de precedência usual.
P (p, q): (((~ p q) ~ p) q) (~ p (~ q p))
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS
Conforme caracterizados anteriormente, os conectivos lógicos estabelecem classes de fórmulas proposicionais específicas, as quais dão origem às operações lógicas fundamentais do cálculo proposicional. Assim tem-se que:
O conectivo,“... e ...” da origem ao operador de conjunção sendo tal operação denotada pelo símbolo .
O conectivo“não ...” da origem ao operador negador ou a operação de negação sendo denotada por ~
O conectivo “... ou ...” da origem ao operador disjuntor inclusivo ou a operação de disjunção inclusiva sendo denotado por
O conectivo “... ou ...., e não ambos,” da origem ao operador disjuntor exclusivo ou a operação de disjunção exclusiva, cuja notação é dada por
O conectivo“se..., então...” da origem ao operador implicador ou a operação de condicional sendo denotado por
O conectivo“.... se, e somente se ...” da origem ao operador bi-implicador ou a operação bicondicional, sendo denotado por:
Observe que as seis classes de fórmulas proposicionais são caracterizadas pela “forma estrutural”, isto é, pelas estruturas ~p, p q, p q, p q, p q, p q.
Portanto uma fórmula proposicional pode ser definida da seguinte maneira:
4.1.1 DEFINIÇÃO
Uma fórmula proposicional é um conjunto ou série finita de termos constituída de pelo menos um operador lógico que incida sobre ao menos uma proposição simples componente.
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É oportuno salientar-se ainda que muito embora as observações feitas até aqui se baseiam em proposições compostas, compostas de outras proposições compostas.
4.1.2 CONECTIVOS:
São palavras que se usam para formar novas preposições a partir de outros conectivos usuais em lógica matemática.
No caso de uma proposição composta cujas preposições simples são p e q, as possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F
Notação:
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Exprime-se que p é verdadeiro escrevendo se V (p) = V e analogamente exprime-se que p é falsa escrevendo-se V(p)=F.
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS:
4.2.1 NEGAÇÃO
Chama-se de negação de uma proposição p a proposição representada por ~p (não p) cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeiro.
Simbolicamente: “ ~ p “ = não p
Tabela verdade: p ~ p V F V F F V F V
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4.2.2 CONJUNÇÃO
Chama-se conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por p e q cujo valor lógico é verdadeiro quando ambas as proposições p e q são verdadeiras e falso nos demais casos.
Simbolicamente: “p q” = p e q
Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V F F F F
4.2.3 DISJUNÇÃO
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo valor lógico é verdadeiro quando ao menos uma das proposições p e qé verdadeira e falso quando ambas as preposições são falsa.
Simbolicamente: “p q” = p ou q
Tabela verdade : p q p q V V V V F V F V V F F F
4.2.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q mas não ambas cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q tem valores lógicos diferentes.
Simbolicamente: “p q” = p ou q mas não ambos
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Tabela verdade: p q p q V V F V F V F V V F F F
4.2.5 CONDICIONAL
Chama-se condicional de duas proposições p e q a proposição cujo valor lógico é falso (F) se a proposição p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira nos demais casos.
Simbolicamente: “p q” = se p então q
Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V V F F V
4.2.6 BICONDICIONAL
Chama-se proposição bicondicional uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e falsa (F) nos demais casos.
Simbolicamente: “p q” = p se e somente se q
Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V
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AULA 1 - Exercícios
1) Quais das sentenças abaixo são proposições?
a) A lua e feita de Queijo verde.
b) Ele seria um homem alto.
c) Dois e um numero primo.
d) O jogo vai acabar logo?
e) 4 0 2 x
f) 3 e raiz de 4 3 0 2 x x
2) Sejam as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) ~ p
b) p q
c) p q
d) q p
e) ~ p ~ q
f) p ~ q
g) p ~q
h) p ~ q
i) p ~ q p
3) Sejam as proposições p:Jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir para linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) p q
b) p q
c) p ~ q
d) ~ p ~q
e) ~ ~ p
f) ~ (~p ~q)
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4) Simbolizar, utilizando a lógica, as seguintes frases:
a) X é maior que 5 e menor que 7 ou X não é igual a 6.
b) Se X é menor que 5 e maior que 3, então X é igual a 4.
c) X é maior que 1 ou X é menor que 1 e maior que 0.
5) Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Marcos é alto e elegante.
b) Marcos é alto, mas não é elegante.
c) Não é verdade que Marcos é baixo e elegante.
d) Marcos é alto ou é baixo e elegante.
e) Marcos não é nem alto e nem elegante.
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante.
6) Sejam as proposições:
p : Sueli é rica
q : Sueli é feliz
Traduzir para linguagem simbólica (lógica) as seguintes frases:
a) Sueli é pobre, mas é feliz.
b) Sueli é rica o infeliz.
c) Sueli é pobre e infeliz.
d) Sueli é pobre ou rica, mas é feliz.
7) Dadas as seguintes proposições:
p : o número 596 é divisível por 2.
q : o número 596 é divisível por 4.
r : o número 596 é divisível por 3.
Traduzir para a linguagem simbólica:
a) É falso que número 596 é divisível por 2 e por 3, ou o número 596 não é divisível por 4.
b) O número 596 não é divisível por 2 ou por 4, mas é divisível por 3.
c) Se não é verdade que o número 596 é divisível por 3, então ele é divisível por 2 e não por 4.
d) É falso que o número 596 não é divisível por 2 e por 4, mas é divisível por 3 e por 2.
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8) Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão.
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão.
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão.
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês.
9) Determine o valor logico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) O numero 11 e um número primo.
b) Todo numero divisível por 5 termina em 0.
c) - 2 < 0.
10) Sabendo-se que V(p) = V(q) = T (true) e V(r) = V(s) = F (false), determine os valores lógicos das seguintes proposições:
a) (p (q r)) (p (r q))
b) (q r) (~q r)
c) (~p ~ (r s))
d) ~(q ( ~p s))
e) (p q) (q ~p)
f) ~(~q (p ~s))
g) ~q ((~r s) (p ~q))
h) ~(~p (q s)) (r ~s)
i) ~(p (q r)) s
11) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4 = 9.
b) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125.
c) Não é verdade que 12 é um número primo.
d) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3.
e) Brasília é a capital do Brasil, e 20 = 0 ou 30 = 1.
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AULA 2
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO
Denomina-se matriz de verdade ou Tabela função de verdade ou Tabela Verdade, todo procedimento de decisão que permite, num dado tempo à determinação dos valores lógicos de uma dada fórmula proposicional a partir dos valores–verdade das proposições simples componentes e das operações lógicas entre tais valores, segundo o escopo de cada uma das respectivas operações lógicas.
É oportuno observar dada uma fórmula proposicional se faz necessário delimitar o escopo de cada uma das operações envolvidas bem como estabelecer os respectivos arranjos de valores lógicos das proposições simples que compões a fórmula em análise.
Para a determinação do número de arranjos possíveis, que correspondem às linhas da tabela verdade, adota-se a expressão 2n, onde n é o número de proposições simples componentes e dois os valores verdade e falsidade, isto é: 2nlinhas.É possível construir a tabela verdade correspondente a qualquer proposição composta dada. Tal tabela mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F).
Exemplos:Construir a tabela verdade das seguintes preposições:
a) ~ (p ~ q)
b) p q ~ p ~ p q ~ p q
p q p q ~ p ~ p q ~ p q V V V F V F F V F F V F V F F V V V V F V F F F F V V F V F F F F V F F F V F V V V V F F V F V V V V F F V F F F V F F V F V V F V F F V F V F 1 7 (1+3) 1 3 (1+2) 2 1 8 (7+6) 2 1 5 (2+4) 1 4 2 1 6 (5+1) 1 p q ~ (p ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V F F V F V F F F F V V F
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5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS:
As fórmulas proposicionais são classificadas quanto aos valores lógicos, em proposições Tautológicas, proposições Contraválidas e proposições Contingentes, as quais são assim definidas
5.1.1 TAUTOLOGIA
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma tautologia ou uma proposição tautológica ou ainda, uma proposição logicamente “verdadeira”, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade, independentemente dos valores lógicos das componentes da fórmula em análise, tem-se tão somente valores lógicos correspondentes à verdade.
Uma tautologia será denotada pelos símbolos t ou T ( p, q, r, ...., p1,....,pn)
Por exemplo, a fórmula proposicional P (p, q): (p q) v (p q) é uma tautologia, pois: p q (p q) (p q) V V V F V V V V V V F V V F V V F F F V F V V V F F V F F F F F V F V F
5.1.2 CONTRADIÇÃO
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contradição ou uma proposição contraválida ou ainda proposição logicamente “falsa”, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela-verdade figuram, independentemente dos valores particulares de suas componentes, tão somente valores lógicos correspondentes à falsidade.
Em termos de notação adotam-se os símbolos c ou C ( p, q, r, ..., p1, ..., pn)
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q): (p q) p ~ q é uma contradição, pois: p q (p q) p ~ q V V V V V V V F F V V F V F F F V F V F F V F V V F F F F V F F F V F F F F V F
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5.1.3 CONTINGÊNCIA
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contingência, ou uma proposição contingente se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade tem-se pelo menos uma verdade e pelo menos uma falsidade, isto é, tal fórmula não é uma tautologia e não é contraválida.
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q) : (p q) (p q) é uma contingência, pois: p q (p q) (p q) V V V V V V V V V V F V F F F V F F F V F F V V F V V F F F F F V F V F
AULA 2 - Exercícios
1) Construa a tabela verdade para cada uma das seguintes proposições:
a) ~p q
b) (p q) (p v q)
c) ~ (p q) ~ (q p)
d) (p q) ~ (p ~ q)
e) [p ( ~ q r)] ~ [ q (p ~ r)]
f) p ~r q ~r
g) ~(p q) ~ (q p)
h) (p q r) (~ p q ~r)
2) Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas (contradição), ou contingentes:
a) p ( ~ p q)
b) ~ p q (p q)
c) p ( q ( q p))
d) ((p q) q ) p
e) p ~q ( p ~q)
f) p q p q
g) p ( p q ~q)
h) (q p) (p q)
i) ~ p ~ (p q)
j) p q ( p q r)
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AULA 3
6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E
O símbolo “” representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição.
Exemplo:
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo , resultará a proposição p q
O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas.
Exemplo
Dadas as proposições p q e p q, a relação de implicação lógica entre elas é denotada por p q p q.
6.2 DEFINIÇÃO
Diz-se que uma preposição P ( p, q, r,....) implica logicamente numa proposição Q ( p, q, r,....) se Q ( p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P ( p, q, r, ....) é verdadeira. Nestas condições, escreve-se que P (p, q, r....) Q (p, q, r,...), que se lê: P implica em Q.
Desta forma tem-se a implicação lógica entre duas dadas fórmulas proposicionais quando nas respectivas tabelas verdades, linha a linha, nas colunas resultado não ocorre simultaneamente verdade-falsidade, nesta ordem.
Teorema: Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P ( p, q, r,...) e Q ( p, q, r,...) são de implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência lógica uma tautologia.
6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
As relações de implicação lógica tem as seguintes propriedades:
Reflexiva: P(p, q, ...) P(p, q,....)
Transitiva: Se P(p, q,....) Q(p, q,...) e Q (p, q,....) R(p, q,...) então P(p, q,...) R(p, q,....)
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6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA
Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P(p, q,....) e Q (p, q,...) são de implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência lógica uma tautologia, ou seja:
i. P(p, q,...) Q (p, q,...) se, e somente se, V[P(p, q,...) Q (p, q,....)] = V para quaisquer dos 2n arranjos de valores lógicos das n-proposições p, q,.... componentes.
ii. P(p, q,...) Q(p, q,...) se, e somente se, P (p, q,...) Q (p, q,...) T (p, q,...)
6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE PROPOSIÇÕES
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q e pq, são: p q p q p q V V V V V F F V F V F V F F F F
A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição p q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a Segunda proposição, isto é,
p q p q.
Nota: A implicação existe não é só porque p q é verdadeira e a proposição pq é, também, verdadeira na mesma linha 1. É sobretudo, porque, nas tabelas verdade de pq e pq, não figuram alternativa VF, nessa ordem. É interessante notar que a proposição pq não implica a proposição pq porque nas tabelas verdade de p q e p q, nessa ordem, figura a alternativa VF (no caso, duas vezes).
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade de p q e p q, são:
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A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta mesma linha, a proposição p q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a segunda proposição, ou seja: p q p q.
Dadas as proposições simples p e q , as tabelas verdade das proposições compostas p q e pq, são: p q p q p q V V V V V F F F F V F V F F F V
A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1, e nesta linha, a proposição p q é verdadeira (V) , portanto, não há alternativa VF. Logo, p q p q.
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q, p q e q p, são: p q p q p q q p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V p q p q p q V V V V V F F F F V F F F F F V
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A proposição p q é verdadeira (V) nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições q p e p q também são verdadeira. Logo, p q q p.
p q p q
6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS
REGRAS DE INFERÊNCIA
Adição: p p q
Simplificação: p q p
p q q
Regra do silogismo disjuntivo: (p q) ~ p q
(p q) ~ q p
Regra Modus Ponens: (p q) p q
Regra Modus Tolens: (p q) ~ q ~ p
Regra do silogismo hipotético: (p q) (q r) p r
6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL:
Dada a condicional p q, chama-se proposição associada a essa proposição as três seguintes proposições condicionais.
Proposição recíproca de p q : q p
proposição inversa de p q : ~ p ~ q
proposição contrapositiva de p q : ~ q ~ p
6.7.1 PROPRIEDADES:
A condicional p q e a contrapositiva ~ q ~ p são equivalentes
A recíproca q p e a inversa ~ p ~ q são equivalentes.
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p q ~ p ~q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V
Exemplos:
Determinar a contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1
Determinar a contrapositiva da inversa de x < 1 x < 3
AULA 3 - Exercícios
1) Mostrar:
a) q p q
b) q p q p
2) Mostrar que p não implica p q e que p q não implica p.
3) Considere a proposição: “Se o Marcelo é chato, então, ele não tem namorada”. Agora determine:
a) a proposição recíproca.
b) a proposição inversa.
c) a proposição contrapositiva.
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4) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:
a) p ~ q
b) p v ~ q
c) ~p q
d) ~ p ~q „
e) ~ p ~ q
f) p ( ~ p v q)
g) (s r) (p q)
h) ~((r p) (s q))
j) ~r p q
j) r q (~p r)
5) Determinar V(p) e V (q) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
a) V ( p q ) = V e V(p q) = F
b) V ( p q ) = V e V(p q) = F
c) V ( p q ) = V e V(p q) = V
d) V ( p q ) = V e V(p v q) = V
e) V ( p q ) = F e V(~p v q) = V
6) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica seguintes:
a) p q q p
b) ~ (p q ) ~p ~q
c) p q r ~q r ~p
d) ~p (~q p ) ~(p ~q)
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AULA 4
7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E
O símbolo representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição.
Exemplo:
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo resultará na proposição p q.
O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas.
Exemplo:
Dadas as proposições p e ~~ p, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por p ~ ~ p
7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA:
Dadas as fórmulas proposicionais P (p, q, r, ..., p1,... , pn) diz-se que todas as fórmulas são logicamente equivalentes se, e somente se, V [P (p, q, r,....)] = V [Q (p, q, r,...)] para quaisquer dos valores verdade das m-proposições simples componentes.
Ou seja:
P (p, q, r,....) Q (p, q, r,...) se, e somente se, V [P(p, q, r, ...)] = V [Q (p, q, r,....)] para os 2n arranjos possíveis de valores verdade das p, q, r,.... proposições componentes.
Por exemplo: p q ~ p v q, pois: p q ~ p q V V V F V V V V F F F V F F F V V V F V V F V F V F V F
Ou seja: p q ~ p v q
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7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS:
Sejam as fórmulas proposicionais P (p, q, r,....) e Q (p, q, r,...).
Teorema: P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...), se e somente se, P (p, q, r....) Q (p, q, r,...) T(p, q, r,...).
Exemplo:
Verificar pela definição e pelo teorema se as fórmulas proposicionais a seguir são equivalentes entre si.
P (p, q): p q.
Q (p, q): (p q) (q p).
Pela definição:
p q (p q) (q p) se, e somente se V [p q] = V [(p q) (q p)].
p q ( p q) (q p) V V V V V V V V V V V F F V F F F F V V F F V F V V F V F F F V F F V F V F V F
Pelo teorema:
(p q) [( p q) (q p)] V V V V V V V V V V V V F F V V F F F F V V F F V V F V V F V F F F V F V F V F V F V F
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7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA:
Tendo em vista as características das relações de equivalência lógica, tem-se que as mesmas se verificam as seguintes propriedades:
Reflexiva: P (p, q, r,...) P (p, q, r,...) p, q.
Simétrica: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) então Q (p, q, r,...) P (p, q, r,...).
Transitiva: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) e Q (p, q, r,...) R (p, q, r,...) então P (p, q, r,...) R (p, q, r,...).
7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS:
p ~ p t
p ~ p c
p q (p q) (q p)
p q ~ p q
p q ~ (p q)
p q ~ q ~ p
p p p ou p p p
t p t
t p p
c p p
c p c
7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS:
Tendo em vista a ocorrência com certa freqüência, de determinadas fórmulas proposicionais no cálculo proposicional tem-se estruturado dois ovos operadores, denominados de conectivos de Scheffer. Assim definem-se as operações derivadas negação conjunta e negação disjunta.
7.6.1 NEGAÇÃO CONJUNTA:
Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não p e não q”:
~ p ~ q
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Notação: p q
Tabela verdade:
7.6.2 NEGAÇÃO DISJUNTA
Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q”:
~ p ~ q
Notação: p q
Tabela verdade:
AULA 04 - Exercícios
1) Verificar por tabela verdade se as seguintes equivalências são válidas:
a) p ( p q) p
b) p p q p q
c) (p q) (p r) p q r
d) ( p q) r p ~ r ~ q
e) q p q p q
f) (p q) (p r) p q r
p q p q V V F V F F F V F F F V p q p q V V F V F V F V V F F V
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2) Verificar se o conectivo “ ” (“ ou ” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos ~, e do seguinte modo:
p q ( p q) ~ (p q)
3) Verificar seos três conectivos ~ , v e exprimem-se em função do conectivos “ “ de SCHEFFER do seguinte modo:
a) ~ p pp
b) p q (p q) (p q)
c) p q (p q) (p q)
4) Verificar se os três conectivos ~, v e exprimem-se em função do conectivo “ “ de SCHEFFER do seguinte modo:
a) ~ p pp
b) p q (p p) (q q)
c) p q (p q) (p q)
5) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:
a) ( ~ p q) ( q ~ r)
b) ((p q) (q r)) (r p)
c) ( ~ p ~ q) ((q r) p)
6) Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “ Quem não tem, compra”, provando sua resposta.
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AULA 5
8. EXERCÍCIOS GERAIS
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
2) Maria tem três carros; um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto e o outro é azul. Sabe-se que:
ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,
ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul
ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,
ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente:
a) branco, preto, azul.
b) preto, azul, branco.
c) azul, branco, preto.
d) preto, branco, azul.
e) branco, azul, preto.
3) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
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4) Dizer que não é verdade que Celina é bonita ou Cristina não é loira, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Celina não é bonita ou Cristina não é loira.
b) Celina não é bonita ou Cristina é loira.
c) Celina é bonita ou Cristina é loira.
d) Celina não é bonita e Cristina não é loira.
e) Celina não é bonita e Cristina é loira.
5) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
6) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado. b) Inocente, culpado, culpado. c) Inocente, culpado, inocente. d) Inocente, inocente, culpado. e) Culpado, culpado, inocente.
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7) Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que:
a) Lauro é paulista e José é psicólogo.
b) Mauro é carioca e José é psicólogo.
c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo.
d) Mauro é paulista e José é psicólogo.
e) Lauro é paulista e Mauro é engenheiro
8) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que: a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
9) Alguém, e, ninguém entraram na casa. Alguém saiu pela porta, ninguém saiu pela janela. Quem ficou na casa?
10) A mãe de Irajara tem cinco filhas: Iraná, Irané, Irani, Iranó. Qual é a quinta filha?
11) O medir-se uma vara verificou-se que ela tem 5 metros mais a metade de seu próprio comprimento. Qual o real comprimento da vara?
12) Se dois tijolos tem a massa de 1 kg e mais meio tijolo; qual a massa de um tijolo e meio?
13) Se 100 gatos comem 100 ratos em 100 minutos, 1 gato come 1 rato em quantos minutos?
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14) O pai do meu neto é o neto de meu pai. Quantas pessoas estão envolvidas nesse relacionamento de parentesco?
15) O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em duas horas a cesta está cheia. A que horas estava pela metade?
16) Conversação telefonica:
- Alô, é do 1.000.000 ; com 6 casas decimais?
- Sim, quem fala?
- Como? Então não reconheces minha voz?!? No entanto, a minha mãe e sogra da tua mãe.
Pergunta-se:
a) Para qual número foi feito o telefonema?
b) Qual o parentesco dos interlocutores?
17) Porque prefere um barbeiro carioca cortar o cabelo de dois capixabas a cortar o de um paulista?
18) Há mais de duas décadas, numa sufocante noite de janeiro em Brasília, chovia torrencialmente à meia noite. É possível que 96 horas depois estivesse sol em Brasília?
19) A sala tem quatro cantos. Cada canto tem um gato. Cada gato vê três gatos. Quantos gatos estão na sala????
20) Um pai tinha dois filhos e queria igualmente bem a cada um deles. Determinou então, no seu testamento, que depois de sua morte, os dois filhos teriam que fazer uma viagem e que a fazenda com todos os seus pertences seria herdada pelo filho cujo cavalo chegasse por último na estátua do Padre Cícero, em Juazeiro, no Ceará. Depois da morte do pai, os dois filhos partiram de Brasília e se puseram a caminho muitíssimo devagar, tão devagar que nunca teriam chegado na estátua do vulnerável Padre Cícero. Resolveram, então, consultar, no caminho, o espiritualista Chico Xavier. Este, sabiamente, disse um segredo ao ouvido de cada um. De posse do segredo, os dois irmãos tomaram, o mais depressa possível, os cavalos e disputaram a mais veloz das corridas. Qual foi o segredo que Chico Xavier falou aos dois herdeiros??
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AULA 6
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO:
9.1.1 IDEMPOTÊNCIA:
p p p
9.1.2 COMUTATIVIDADE:
p q q p
9.1.3 ASSOCIATIVIDADE:
(p q) r p (q r) p q r (p q) r p (q r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F F V F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F p p p V V F F p q p q q p V V V V V F F F F V F F F F F F
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9.1.4 IDENTIDADE:
p c c
p t p
p c t p c p t V F V F V F F F F V
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO:
Sejamp, q, r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições simples cujos valores lógicos respectivos são V e F.
9.2.1 IDEMPOTÊNCIA:
p p p
9.2.2 COMUTATIVIDADE:
p q q p
p p p V V F F p q p q q p V V V V V F V V F V V F F F F F
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9.2.3 ASSOCIATIVIDADE:
(p q) r p (q r)
9.2.4 IDENTIDADE:
p t t
p c p
p t c p t p c V V F V V F V F V F
V = elemento absorvente
F = elemento neutro
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO:
9.3.1 DISTRIBUTIVA:
i. p (q ˅ r ) (p q) ˅ (p r)
ii. p ˅ (q r) (p ˅ q) (p ˅ r) p q r (p q) r p (q r) V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F V V V F F V V V V V V F V F V V V V F F V F V V V F F F F F F F
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São idênticas as tabelas verdade das proposições p (q ˅ r) e (p q) (p r), Analogamente, são idênticas as tabelas verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r).
As bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r) (p q) (p r) são tautológicas
A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação a disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação a conjunção.
De (i) a proposição em linguagem corrente:
As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou amarelas.
As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou as violetas são azuis eas rosas amarelas.
De (ii);
Faz calor ou chove e venta
Faz calor ou chove efaz calor ou venta.
9.3.2 ABSORÇÃO:
i. p ( p q) p
ii. p (p q) p
9.3.3 LEIS DE DE MORGAN:
i. ~ ( p q ) ~ p ˅ ~ q
ii. ~ ( p ˅ q ) ~ p ~ q
As leis de De Morgan permitem definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou a conjunção a partir da disjunção e da negação.
i. negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa
ii. negar que ao menos uma entre duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas.
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL:
p q ~ p ˅ q
~(p q) ~(~ p ˅ q) p ~ q
Demonstração por tabela verdade:
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p q p q ~ ( p
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