Relação Da Declaração Universal De Direitos Humanos Com A Constituição Federal

ETAPA 02

PASSO 01

Integral por partes:

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G’ (x) = g(x), então:

∫▒〖f(x) G^' (x)dx=f(x)g(x)-∫▒〖f(x) G(x)dx〗〗

Pela derivada do produto de duas funções, segue que:

(f(x)G(x))^'=f(x)G(x)+f(x) G^' (x)+f^' (x)G(x)+f(x)G(x)

E integrando os membros desta última igualdade,9x obteremos:

∫▒〖(f〗 (x)G(x))'dx=∫▒[f^' (x) G^' (x)+f(x)g(x)]dx

Isto é,

f(x)G(x)=∫▒[f^' (x)G(x)+f(x)g(x)]dx

Assim,

f(x)G(x)=∫▒〖f(x)G(x)dx+∫▒f(x)g(x)dx〗

Onde segue o resultado,

Exemplo: Para calcular∫▒〖x.ln⁡(x)dx,〗 tomamos g(x)=x e f(x)=ln⁡〖x.〗 Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f^' (x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f^' (x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:

∫▒〖f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-∫▒f(x)G(x)dx〗

Substituindo as funções acima definidas, teremos:

∫▒〖x.ln⁡(x)dx=ln⁡(x)x²/2〗-∫▒〖(1/x〗) x dx

Logo,

∫▒〖x.ln(x)dx= 1/2〗 x² ln⁡(x)-x+C

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

Integral por substituição

Este tipo de integral funciona como a regra de cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:

∫▒〖f(u(x)) u^' (x)dx〗

Substituímos u= u(x) na integral acima e calculamos a integral

∫▒f(u)du

Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.

1. u=x^2+3x.

∫▒〖(x^2+3x)(2x+3)dx=∫▒〖u du=u²/2〗〗+C= ((x^2+3x)²)/2+C

2. u=x²+1

∫▒5x/((x^2+1)) dx=(5/2) ∫▒〖2x/((x^2+1)) dx=(5/2) ∫▒du/u〗= (5/2) ln⁡(u)+C= (5/2) ln⁡(x^2+1)+C

3. u=x+1

∫▒〖x/((x+1)) dx=∫▒〖((u-1))/u du=∫▒〖du-∫▒〖du/u=u-ln⁡(u)+C=x+1-ln⁡(x+1)+C〗〗〗〗

ETAPA 03

PASSO 01

Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos