Sistemas Linearres

Sumário

Sistemas Lineares ............................................................................................................. 2

Métodos de solução .......................................................................................................... 3

Determinantes ................................................................................................................... 3

Matriz transposta .............................................................................................................. 3

Matriz nula ........................................................................................................................ 4

Teorema de Binet.............................................................................................................. 4

Matriz triangular ............................................................................................................... 4

Matriz inversa ................................................................................................................... 5

Adição de determinantes .................................................................................................. 5

Regra de Sarrus ................................................................................................................. 5

Teorema de Laplace.......................................................................................................... 6

Método de eliminação de Gauss ....................................................................................... 6

Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares

Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível.

Denomina-se solução de um sistema de equações lineares ao conjunto de n valores que são simultaneamente solução de todas as equações do sistema.

Dois sistemas equações lineares são ditos equivalentes quando possuem a mesma solução.

Um sistema de equação linear pode ser possível, quando admite solução, ou impossível, quando não admite solução.

Um sistema de equações possível pode ser determinado, quando admite solução única, ou indeterminado, quando admite mais de uma solução.

Exemplo:

a) 3x=5

Esta equação tem como solução única x= 5/3, logo seu conjunto solução é S= {5/3}

b) 0x=1

Esta equação não tem nenhuma solução, pois não existe nenhum número real que multiplicado por 0 de 1. Portanto S= Ø

c) 5x+10y-2z=3

Isolamos qualquer uma das variáveis, escrevendo ela em função das outras. Por exemplo, isolando x temos x= 3/5 – 2y + 2/5z, Isto é, escrevemos x em função de y e z. As variáveis y e z não

Métodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de solução Métodos de soluçãoMétodos de solução Métodos de soluçãoMétodos de solução Métodos de soluçãoMétodos de soluçãoMétodos de solução

DeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantes DeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantes

A teoria dos determinantes devem ter origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistema lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.

A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.

Segundo Gauss determinante determina as propriedades da forma quadrática. Porém, este conceito não é o mesmo que a do nosso determinante. Ele por sua vez, estabelece parâmetros, ou seja, os coeficientes de sua forma quadrática em matrizes retangulares. Gauss descreve a multiplicação de matrizes (o que ele pensa em como composição que ainda não atingiu o conceito de álgebra matricial) e da inversa de uma matriz no contexto particular das matrizes de coeficientes de formas quadráticas.

Apresentaremos propriedades e testes aplicados a determinantes para que conheçamos uma matriz.

Matriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpo Matriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpoMatriz transpostastasta

Se A for uma matriz qualquer mxn, então a transposta de A, será definida como a matriz nxm cuja primeira linha de A, cuja segunda coluna é a segunda linha de A, cuja a terceira linha de A etc.

Exemplo:

a11 a12 a13 a11 a21 a31

A= a21 a22 a13 = At= a12 a22 a32

a31 a32 a33 a13 a23 a33

Matriz nulaMatriz nulaMatriz nulaMatriz nulaMatriz nulaMatriz nulaMatriz nula Matriz nulaMatriz nulaMatriz nula

Quando todos os elementos de uma matriz das (linhas e colunas) A forem nulos, então det A=0

Exemplo:

-2 1 3 4

2 1 2 4

0 0 0 0 = 0

-1 0 3 -2

Teorema de BinetTeorema de BinetTeorema de BinetTeorema de BinetTeorema de BinetTeorema de BinetTeorema de BinetTeorema de Binet Teorema de BinetTeorema de Binet Teorema de Binet Teorema de BinetTeorema de Binet

Se x e y são matrizes quadradas de mesma ordem z, então:

Ex.: